Utilize a integral dupla para determinar o volume do sólido:
(a) que está abaixo de z=9-4 x^{2}-4 y^{2} e acima do plano x y.
(b) limitado por z=12-3 x^{2}-3 y^{2} e z=x^{2}+y^{2}-8.

Passo 1

O enunciado pede para usar integrais duplas e coordenadas polares para achar volumes de sólidos definidos por superfícies de revolução sobre regiões simétricas. Em geral, o volume é dado por
V=\iint_{D} \bigl(z_{\text{superior}} - z_{\text{inferior}}\bigr)\,dA,
e, por simetria circular, passamos a coordenadas polares com x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e dA=r\,dr\,d\theta.

Passo 2

(a) Para o sólido abaixo de z=9-4x^2-4y^2 e acima do plano z=0, a região de projeção D é dada por
9-4r^2 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad r^2 \le \tfrac{9}{4} \quad\Longrightarrow\quad 0 \le r \le \tfrac{3}{2},\; 0\le \theta\le 2\pi.
O integrando (a altura) é 9-4r^2. Assim
V_a =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{3/2} (9-4r^2)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Calculando V_a:
\int_{0}^{3/2}(9r-4r^3)\,dr =\Bigl[\tfrac{9r^2}{2}-r^4\Bigr]_{0}^{3/2} =\frac{81}{8}-\frac{81}{16} =\frac{81}{16}.
Multiplicando por 2\pi,
V_a =2\pi\cdot\frac{81}{16} =\frac{81\pi}{8}.

Passo 4

(b) Para o sólido limitado por z_{\text{sup}}=12-3r^2 e z_{\text{inf}}=r^2-8, impomos
12-3r^2 \ge r^2-8 \quad\Longrightarrow\quad 4r^2 \le 20 \quad\Longrightarrow\quad r\le \sqrt{5},
logo D\colon 0\le r\le\sqrt{5},\;0\le\theta\le2\pi. A altura é (12-3r^2)-(r^2-8)=20-4r^2, e
V_b =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\sqrt5}(20-4r^2)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calculando V_b:
\int_{0}^{\sqrt5}(20r-4r^3)\,dr =\Bigl[10r^2-r^4\Bigr]_{0}^{\sqrt5} =50-25 =25.
Multiplicando por 2\pi,
V_b =2\pi\cdot25 =50\pi.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{81\pi}{8}.
(b) \displaystyle 50\pi.

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