Questão 2. Mostre que a transformação T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por
T(x, y)=(2 x+y, 3 x+4 y)
é injetora e encontre sua inversa.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\quad T(x,y) = (2x+y,\;3x+4y).
O conteúdo aqui é teoria de transformações lineares em \mathbb{R}^2: para mostrar injetividade vamos usar o determinante da matriz associada, e para achar a inversa vamos resolver o sistema linear correspondente.

Passo 2

Escrevendo T como matriz
M = \begin{pmatrix}2 & 1 \\[6pt] 3 & 4\end{pmatrix},
sabemos que uma transformação linear em \mathbb{R}^2 é injetora se, e somente se, \det(M)\neq 0. Calculamos
\det(M) = 2\cdot 4 - 3\cdot 1 = 8 - 3 = 5 \neq 0.
Logo, \ker(T)=\{(0,0)\} e T é injetora.]

Passo 3

Para encontrar a inversa T^{-1}\), seja \((u,v)=T(x,y)\). Temos o sistema \[\begin{cases} 2x + y = u,\\\\ 3x + 4y = v. \end{cases}
Da primeira equação vem y = u - 2x\]. Substituindo na segunda: \[3x + 4(u - 2x) = v \quad\Longrightarrow\quad 3x + 4u - 8x = v \quad\Longrightarrow\quad -5x = v - 4u \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{4u - v}{5}.\] Então \[y = u - 2x = u - 2\Bigl(\frac{4u - v}{5}\Bigr) = \frac{5u - 8u + 2v}{5} = \frac{-3u + 2v}{5}.\] Assim, para \((u,v)\in\mathbb{R}^2,
T^{-1}(u,v) = \Bigl(\frac{4u - v}{5},\;\frac{-3u + 2v}{5}\Bigr).

Resposta

T é injetora e
T^{-1}\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\quad T^{-1}(u,v) = \Bigl(\frac{4u - v}{5},\,\frac{-3u + 2v}{5}\Bigr).

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