Questão 2. Considere n funçāo f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} definida por
f(x, y)=x^{3}+y^{2}-3 x^{2} y+6
Determine os extremos absolutos de f na região triangular fechada e limitada com vétices em (0,0),(0,1) e (1,0).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{3}+y^{2}-3x^{2}y+6
e pede: determinar os extremos absolutos de f na região triangular fechada com vértices (0,0), (0,1) e (1,0).
Informações relevantes do enunciado:
  • A região é o triângulo fechado T=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\ge 0,\; y\ge 0,\; x+y\le 1\}.
  • Queremos os extremos absolutos (mínimo e máximo) de f em T.
  • A função é dada explicitamente; é contínua e tem derivadas parciais polinomiais (logo suaves).

Passo 2

Plano de ataque (sem resolver ainda): para encontrar extremos absolutos de uma função suave em uma região fechada e limitada, usamos a estratégia padrão:
  1. Procurar pontos críticos no interior do triângulo (onde todas as derivadas parciais são zero).
  2. Analisar a fronteira (as três arestas do triângulo): restringir f a cada aresta e encontrar extremos nessa aresta (incluindo os vértices).
  3. Comparar todos os valores obtidos e escolher o mínimo e o máximo absolutos.
Antes de aplicar: uma breve aula sobre derivadas parciais e pontos críticos:
  • A derivada parcial de f em relação a x, denotada \partial f/\partial x (ou f_x), mede a variação de f quando x varia e y fica fixo. Analogamente para f_y.
  • Um ponto (x_0,y_0) interior é chamado ponto crítico (ou estacionário) se
f_x(x_0,y_0)=0\quad\text{e}\quad f_y(x_0,y_0)=0.
  • Para classificar um ponto crítico interior podemos usar a matriz Hessiana (segunda derivadas). Se o determinante da Hessiana for negativo, é ponto de sela; se positivo e f_{xx}>0, é mínimo local; se positivo e f_{xx}<0, é máximo local. Se determinante zero, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais e achar pontos críticos interiores.
Derivadas parciais:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^3+y^2-3x^2y+6\big)=3x^2-6xy=3x(x-2y),
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^3+y^2-3x^2y+6\big)=2y-3x^2.
Resolver o sistema f_x=0,\; f_y=0:

De f_x=0 temos 3x(x-2y)=0, então x=0 ou x-2y=0 (isto é, y=\tfrac{x}{2}).
De f_y=0 temos 2y-3x^2=0, isto é y=\tfrac{3}{2}x^2.
Combinar casos:
  • Se x=0, então de f_y=0 vem 2y-0=0\Rightarrow y=0. Dá o ponto (0,0).
  • Se y=\tfrac{x}{2} e y=\tfrac{3}{2}x^2, igualando:
\frac{x}{2}=\frac{3}{2}x^2 \Rightarrow x=\;0\quad\text{ou}\quad 1=3x \Rightarrow x=\frac{1}{3}.
x=0 já deu (0,0). Para x=\tfrac{1}{3}, obtemos y=\tfrac{x}{2}=\tfrac{1}{6}. Então o outro ponto crítico é \left(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{6}\right).
Ambos os pontos estão no triângulo T (verifique: \tfrac{1}{3}\ge0,\tfrac{1}{6}\ge0,\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{6}=\tfrac{1}{2}\le1).

Passo 4

Classificar o ponto crítico interior \left(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{6}\right) (apenas para entender sua natureza, embora para extremos absolutos só precisemos comparar valores).
Segunda derivadas:
f_{xx}=6x-6y,\qquad f_{yy}=2,\qquad f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(3x^2-6xy)=-6x.
Avaliar em \left(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{6}\right):
f_{xx} = 6\cdot\frac{1}{3}-6\cdot\frac{1}{6}=2-1=1,
f_{yy}=2,
f_{xy}=-6\cdot\frac{1}{3}=-2.
Determinante da Hessiana:
D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2=1\cdot 2 - (-2)^2 = 2-4 = -2<0.
Como D<0, o ponto \left(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{6}\right) é um ponto de sela (não é máximo nem mínimo local). Mesmo assim precisamos do valor de f ali para comparar com a fronteira.
Calcular f em \left(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{6}\right):
x^3=\frac{1}{27},\quad y^2=\frac{1}{36},\quad -3x^2y=-3\cdot\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{6}=-\frac{1}{18}.
Somando:
f\!\left(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{6}\right)=\frac{1}{27}+\frac{1}{36}-\frac{1}{18}+6.
Colocando em denominador 108: \frac{4+3-6}{108}=\frac{1}{108}. Assim
f\!\left(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{6}\right)=6+\frac{1}{108}=\frac{649}{108}\approx 6{,}009259.

Passo 5

Analisar a aresta x=0 (segmento de (0,0) a (0,1)). Aqui y\in[0,1] e
f(0,y)=0+y^2-0+6=y^2+6.
Como y^2 é crescente em y\ge0, em [0,1] temos mínimo em y=0 e máximo em y=1.
f(0,0)=6,\qquad f(0,1)=7.

Passo 6

Analisar a aresta y=0 (segmento de (0,0) a (1,0)). Aqui x\in[0,1] e
f(x,0)=x^3+0-0+6=x^3+6.
Como x^3 é crescente em [0,1], temos mínimo em x=0 e máximo em x=1:
f(0,0)=6,\qquad f(1,0)=7.

Passo 7

Analisar a hipotenusa x+y=1 (segmento de (0,1) a (1,0)). Parametrização conveniente: y=1-x com x\in[0,1]. Defina a função unidimensional
g(x)=f(x,1-x)=x^3+(1-x)^2-3x^2(1-x)+6.
Expandir e simplificar:
(1-x)^2=1-2x+x^2,\quad -3x^2(1-x)=-3x^2+3x^3.
Somando termos:
g(x)=x^3+1-2x+x^2-3x^2+3x^3+6 = 4x^3-2x^2-2x+7.
Procurar extremos de g em [0,1]: calcular g'(x):
g'(x)=12x^2-4x-2.
Resolver g'(x)=0:
12x^2-4x-2=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 6x^2-2x-1=0.
Aplicando a fórmula quadrática:
x=\frac{2\pm\sqrt{4+24}}{12}=\frac{2\pm\sqrt{28}}{12}=\frac{1\pm\sqrt7}{6}.
Duas raízes: x_1=\dfrac{1+\sqrt7}{6}\approx0{,}6076 que pertence a [0,1], e x_2=\dfrac{1-\sqrt7}{6}\approx-0{,}2743 fora do intervalo. Assim temos um candidato interior na aresta em x=\dfrac{1+\sqrt7}{6}, com
y=1-x=\frac{5-\sqrt7}{6}.
Agora calcular g nesse x. Em vez de elevar ao cubo diretamente com raízes quadradas, uma forma elegante é usar a relação quadrática 6x^2-2x-1=0 para reduzir potências. Usamos:
6x^2=2x+1 \Rightarrow x^2=\frac{2x+1}{6}.
Calcule x^3=x\cdot x^2=x\cdot\frac{2x+1}{6}=\frac{2x^2+x}{6}. Substituindo x^2 novamente:
x^3=\frac{2\cdot\frac{2x+1}{6}+x}{6}=\frac{\frac{4x+2}{6}+x}{6}=\frac{4x+2+6x}{36}=\frac{10x+2}{36}=\frac{5x+1}{18}.
Agora g(x)=4x^3-2x^2-2x+7. Substituir as expressões:
4x^3=4\cdot\frac{5x+1}{18}=\frac{20x+4}{18}=\frac{10x+2}{9},
-2x^2=-2\cdot\frac{2x+1}{6}=-\frac{4x+2}{6}=-\frac{2x+1}{3}.
Somando tudo com denominador 9:
g(x)=\frac{10x+2}{9}-\frac{6x+3}{9}-\frac{18x}{9}+\frac{63}{9}=\frac{62-14x}{9}.
Substituir x=\dfrac{1+\sqrt7}{6} (para escrever exato):
14x=\frac{14(1+\sqrt7)}{6}=\frac{7(1+\sqrt7)}{3},
62-\!14x=\frac{186-7-7\sqrt7}{3}=\frac{179-7\sqrt7}{3}.
Portanto
g\!\left(\frac{1+\sqrt7}{6}\right)=\frac{62-14x}{9}=\frac{179-7\sqrt7}{27}\approx5{,}94404.
Também verificar extremos nos extremos do intervalo x=0 e x=1 (vértices):
g(0)=f(0,1)=7,\qquad g(1)=f(1,0)=7.

Passo 8

Compilar todos os candidatos e comparar valores para decidir extremos absolutos. Candidatos e seus valores:
  • Vértices: (0,0) com f(0,0)=6.
  • Vértices: (0,1) com f(0,1)=7.
  • Vértices: (1,0) com f(1,0)=7.
  • Ponto crítico interior: \left(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{6}\right) com f=\dfrac{649}{108}\approx6{,}009259.
  • Ponto crítico na aresta x+y=1: \displaystyle\left(\frac{1+\sqrt7}{6},\frac{5-\sqrt7}{6}\right) com
    \displaystyle f=\frac{179-7\sqrt7}{27}\approx5{,}94404.
Comparando os valores numéricos, o menor valor é \dfrac{179-7\sqrt7}{27} (aprox. 5{,}94404) e os maiores são 7 nos pontos (0,1) e (1,0).
Conclusão: mínimo absoluto ocorre na hipotenusa no ponto calculado; máximo absoluto ocorre nos dois vértices (0,1) e (1,0).

Resposta

\displaystyle \text{mínimo absoluto em }\Big(\frac{1+\sqrt7}{6},\frac{5-\sqrt7}{6}\Big),\quad f=\frac{179-7\sqrt7}{27}í\n \displaystyle \text{máximos absolutos em }(0,1)\text{ e }(1,0),\quad f=7á

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