Questão 2. Considere n funçāo
definida por
Determine os extremos absolutos de
na região triangular fechada e limitada com vétices em
e
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: determinar os extremos absolutos de
na região triangular fechada com vértices
e
.
Informações relevantes do enunciado:
- A região é o triângulo fechado
. - Queremos os extremos absolutos (mínimo e máximo) de
em . - A função é dada explicitamente; é contínua e tem derivadas parciais polinomiais (logo suaves).
Passo 2
Plano de ataque (sem resolver ainda): para encontrar extremos absolutos de uma função suave em uma região fechada e limitada, usamos a estratégia padrão:
- Procurar pontos críticos no interior do triângulo (onde todas as derivadas parciais são zero).
- Analisar a fronteira (as três arestas do triângulo): restringir
a cada aresta e encontrar extremos nessa aresta (incluindo os vértices). - Comparar todos os valores obtidos e escolher o mínimo e o máximo absolutos.
Antes de aplicar: uma breve aula sobre derivadas parciais e pontos críticos:
- A derivada parcial de
em relação a , denotada (ou ), mede a variação de quando varia e fica fixo. Analogamente para . - Um ponto
interior é chamado ponto crítico (ou estacionário) se
- Para classificar um ponto crítico interior podemos usar a matriz Hessiana (segunda derivadas). Se o determinante da Hessiana for negativo, é ponto de sela; se positivo e
, é mínimo local; se positivo e , é máximo local. Se determinante zero, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais e achar pontos críticos interiores.
Derivadas parciais:
Resolver o sistema
:
De temos
, então
ou
(isto é,
).
De temos
, isto é
.
De
De
Combinar casos:
- Se
, então de vem . Dá o ponto . - Se
e , igualando:
Ambos os pontos estão no triângulo
(verifique:
).
Passo 4
Classificar o ponto crítico interior
(apenas para entender sua natureza, embora para extremos absolutos só precisemos comparar valores).
Segunda derivadas:
Avaliar em
:
Determinante da Hessiana:
Como
, o ponto
é um ponto de sela (não é máximo nem mínimo local). Mesmo assim precisamos do valor de
ali para comparar com a fronteira.
Calcular
em
:
Somando:
Colocando em denominador
:
. Assim
Passo 5
Analisar a aresta
(segmento de
a
). Aqui
e
Como
é crescente em
, em
temos mínimo em
e máximo em
.
Passo 6
Analisar a aresta
(segmento de
a
). Aqui
e
Como
é crescente em
, temos mínimo em
e máximo em
:
Passo 7
Analisar a hipotenusa
(segmento de
a
). Parametrização conveniente:
com
. Defina a função unidimensional
Expandir e simplificar:
Somando termos:
Procurar extremos de
em
: calcular
:
Resolver
:
Aplicando a fórmula quadrática:
Duas raízes:
que pertence a
, e
fora do intervalo. Assim temos um candidato interior na aresta em
, com
Agora calcular
nesse
. Em vez de elevar ao cubo diretamente com raízes quadradas, uma forma elegante é usar a relação quadrática
para reduzir potências. Usamos:
Calcule
. Substituindo
novamente:
Agora
. Substituir as expressões:
Somando tudo com denominador
:
Substituir
(para escrever exato):
Portanto
Também verificar extremos nos extremos do intervalo
e
(vértices):
Passo 8
Compilar todos os candidatos e comparar valores para decidir extremos absolutos. Candidatos e seus valores:
- Vértices:
com . - Vértices:
com . - Vértices:
com . - Ponto crítico interior:
com . - Ponto crítico na aresta
: com
.
Comparando os valores numéricos, o menor valor é
(aprox.
) e os maiores são
nos pontos
e
.
Conclusão: mínimo absoluto ocorre na hipotenusa no ponto calculado; máximo absoluto ocorre nos dois vértices
e
.