Questão 3. Considere a função f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} definida por
f(x, y)=e^{-x^{3} y} \operatorname{sen}(x+2 y)
Determine todas as direções unitárias em que a derivada direcional de ponto P=\left(0, \frac{\pi}{2}\right) tem valor igual a 1 .
Determine o valor da taxa de variação máxima de f no ponto Q=\left(\frac{\pi}{3}, 0\right)

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x,y)=e^{-x^{3}y}\operatorname{sen}(x+2y)
e pede duas coisas:
  1. Determinar todas as direções unitárias em que a derivada direcional no ponto P=\left(0,\frac{\pi}{2}\right) vale 1.
  2. Determinar o valor da taxa de variação máxima de f no ponto Q=\left(\frac{\pi}{3},0\right).
Informações relevantes que temos imediatamente: a função f está definida em \mathbb{R}^2 e os pontos P e Q são dados. Não há mais dados ocultos — tudo que precisamos virá de derivadas parciais e do gradiente em cada ponto.

Passo 2

O que é a derivada direcional e como a vamos calcular na prática (aula rápida e direta): a derivada direcional de f em um ponto na direção de um vetor unitário u é, intuitivamente, a velocidade com que f muda se nós nos movermos do ponto naquela direção. Para funções diferenciáveis em \mathbb{R}^2 existe uma fórmula prática muito útil:
\text{derivada direcional de }f\text{ em direção }u=\nabla f(p)\cdot u,çã
onde \nabla f(p) é o gradiente de f no ponto p e \cdot é o produto escalar. O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\,\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
Portanto, para achar direções u unitárias que fazem a derivada direcional valer 1 em P basta:
  1. calcular \nabla f(P),
  2. resolver \nabla f(P)\cdot u=1 com a condição \|u\|=1.
Para a segunda pergunta: a taxa de variação máxima de f em um ponto q é justamente o comprimento do gradiente naquele ponto:
\max_{\|u\|=1}\nabla f(q)\cdot u = \|\nabla f(q)\|.
Vou agora calcular as derivadas parciais e avaliar nos pontos.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais usando regra do produto e cadeia. A função é produto de e^{-x^{3}y} e \operatorname{sen}(x+2y), logo
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{-x^{3}y}\big)\operatorname{sen}(x+2y)+e^{-x^{3}y}\frac{\partial}{\partial x}\big(\operatorname{sen}(x+2y)\big).
Aplicando cadeia: \frac{\partial}{\partial x}e^{-x^{3}y}=e^{-x^{3}y}\cdot(-3x^{2}y) e \frac{\partial}{\partial x}\operatorname{sen}(x+2y)=\cos(x+2y)\cdot 1. Assim
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=e^{-x^{3}y}\big(-3x^{2}y\operatorname{sen}(x+2y)+\cos(x+2y)\big).
Agora \partial f/\partial y:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{-x^{3}y}\big)\operatorname{sen}(x+2y)+e^{-x^{3}y}\frac{\partial}{\partial y}\big(\operatorname{sen}(x+2y)\big).
Aplicando cadeia: \frac{\partial}{\partial y}e^{-x^{3}y}=e^{-x^{3}y}\cdot(-x^{3}) e \frac{\partial}{\partial y}\operatorname{sen}(x+2y)=\cos(x+2y)\cdot 2. Logo
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=e^{-x^{3}y}\big(-x^{3}\operatorname{sen}(x+2y)+2\cos(x+2y)\big).
Resumo: as fórmulas gerais das derivadas parciais são
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=e^{-x^{3}y}\big(-3x^{2}y\operatorname{sen}(x+2y)+\cos(x+2y)\big),
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=e^{-x^{3}y}\big(-x^{3}\operatorname{sen}(x+2y)+2\cos(x+2y)\big).

Passo 4

Avaliar o gradiente em P=\left(0,\frac{\pi}{2}\right). Primeiro calculemos os argumentos trigonométricos e o fator exponencial em P:
-x^{3}y\big|_{P} = -0^{3}\cdot\frac{\pi}{2}=0 \quad\Rightarrow\quad e^{-x^{3}y}\big|_{P}=e^{0}=1.
x+2y\big|_{P} = 0 + 2\cdot\frac{\pi}{2}=\pi \quad\Rightarrow\quad \operatorname{sen}(\pi)=0,\\ \cos(\pi)=-1.
Substituindo nas fórmulas:
\frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{P}=1\cdot\big(-3\cdot 0^{2}\cdot\frac{\pi}{2}\cdot 0 + (-1)\big)=-1,
\frac{\partial f}{\partial y}\bigg|_{P}=1\cdot\big(-0^{3}\cdot 0 + 2\cdot(-1)\big)=-2.
Portanto
\nabla f(P)=(-1,-2).

Passo 5

Agora resolver para as direções unitárias [u=(a,b)) (com \\ a^{2}+b^{2}=1) que satisfazem
\nabla f(P)\cdot u = (-1,-2)\cdot (a,b) = -a-2b = 1.
Reescrevendo:
a+2b=-1.
Vamos resolver o sistema
\begin{cases} a+2b=-1,\\[4pt] a^{2}+b^{2}=1. \end{cases}
Da primeira equação isolamos (b]:
b=\frac{-1-a}{2}.
Substituindo na segunda:
a^{2}+\left(\frac{-1-a}{2}\right)^{2}=1.
Calcule passo a passo:
a^{2}+\frac{(1+2a+a^{2})}{4}=1 \quad\Rightarrow\quad 4a^{2}+1+2a+a^{2}=4.
5a^{2}+2a+1=4 \quad\Rightarrow\quad 5a^{2}+2a-3=0.
Resolver a quadrática: discriminante \Delta=2^{2}-4\cdot5\cdot(-3)=4+60=64, \sqrt{\Delta}=8. Assim
a=\frac{-2\pm 8}{10} \quad\Rightarrow\quad a=\frac{3}{5}\\ \text{ou}\\ a=-1.
Encontrar b em cada caso:
  • Se a=\frac{3}{5}, então
b=\frac{-1-\frac{3}{5}}{2}=\frac{-\frac{8}{5}}{2}=-\frac{4}{5}.
Verificação: (3/5)^{2}+(-4/5)^{2}=9/25+16/25=1.
  • Se a=-1, então
b=\frac{-1-(-1)}{2}=0,
e (-1)^{2}+0^{2}=1.
Portanto existem exatamente duas direções unitárias que satisfazem a condição.]

Passo 6

Apresento explicitamente as direções unitárias encontradas (já normalizadas):
u_{1}=\left(\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right),\qquad u_{2}=(-1,0).
Ambas satisfazem \nabla f(P)\cdot u=1.

Passo 7

Agora a segunda pergunta: taxa de variação máxima em Q=\left(\frac{\pi}{3},0\right).
Como dito, a taxa de variação máxima é \|\nabla f(Q)\|. Primeiro calcule \nabla f(Q).
Calcule trigonometria e exponencial em Q:
-x^{3}y\big|_{Q} = -\left(\frac{\pi}{3}\right)^{3}\cdot 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad e^{-x^{3}y}\big|_{Q}=1.
x+2y\big|_{Q} = \frac{\pi}{3}+2\cdot 0=\frac{\pi}{3}\quad\Rightarrow\quad \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2},\\ \cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}.
Usando as fórmulas das derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{Q}=1\cdot\big(-3x^{2}y\operatorname{sen}(x+2y)+\cos(x+2y)\big)\bigg|_{Q}=\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2},
pois y=0 anula o termo com y. E
\frac{\partial f}{\partial y}\bigg|_{Q}=1\cdot\big(-x^{3}\operatorname{sen}(x+2y)+2\cos(x+2y)\big)\bigg|_{Q}=-\left(\frac{\pi}{3}\right)^{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+2\cdot\frac{1}{2}.
Simplificando o termo com x^{3}: \left(\frac{\pi}{3}\right)^{3}=\frac{\pi^{3}}{27}, então
\frac{\partial f}{\partial y}\bigg|_{Q}=1-\frac{\pi^{3}\sqrt{3}}{54}.
Logo
\nabla f(Q)=\left(\frac{1}{2},\,1-\frac{\pi^{3}\sqrt{3}}{54}\right).
A taxa de variação máxima é o comprimento desse vetor:
\|\nabla f(Q)\|=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(1-\frac{\pi^{3}\sqrt{3}}{54}\right)^{2}}.
Se for interessante, a direção de maior crescimento (não pedida, mas útil) é o vetor unitário \dfrac{\nabla f(Q)}{\|\nabla f(Q)\|}.

Resposta

\displaystyle u=\left(\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right)
\displaystyle u=(-1,0)
\displaystyle \text{Taxa de variação máxima em }Q=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(1-\frac{\pi^{3}\sqrt{3}}{54}\right)^{2}}çãá

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