Questão 3. Considere a função f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} definida por
f(x, y)=e^{-x^{3} y} \operatorname{sen}(x+2 y)
Determine todas as direções unitárias em que a derivada direcional de ponto P=\left(0, \frac{\pi}{2}\right) tem valor igual a 1 .
Determine o valor da taxa de variação máxima de f no ponto Q=\left(\frac{\pi}{3}, 0\right)
Passo 1
O enunciado fornece a função
f(x,y)=e^{-x^{3}y}\operatorname{sen}(x+2y)
e pede duas coisas:
Determinar todas as direções unitárias em que a derivada direcional no ponto P=\left(0,\frac{\pi}{2}\right) vale 1.
Determinar o valor da taxa de variação máxima de f no ponto Q=\left(\frac{\pi}{3},0\right).
Informações relevantes que temos imediatamente: a função f está definida em \mathbb{R}^2 e os pontos P e Q são dados. Não há mais dados ocultos — tudo que precisamos virá de derivadas parciais e do gradiente em cada ponto.
Passo 2
O que é a derivada direcional e como a vamos calcular na prática (aula rápida e direta): a derivada direcional de f em um ponto na direção de um vetor unitário u é, intuitivamente, a velocidade com que f muda se nós nos movermos do ponto naquela direção. Para funções diferenciáveis em \mathbb{R}^2 existe uma fórmula prática muito útil:
\text{derivada direcional de }f\text{ em direção }u=\nabla f(p)\cdot u,
onde \nabla f(p) é o gradiente de f no ponto p e \cdot é o produto escalar. O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
Aplicando cadeia: \frac{\partial}{\partial x}e^{-x^{3}y}=e^{-x^{3}y}\cdot(-3x^{2}y) e \frac{\partial}{\partial x}\operatorname{sen}(x+2y)=\cos(x+2y)\cdot 1. Assim
Aplicando cadeia: \frac{\partial}{\partial y}e^{-x^{3}y}=e^{-x^{3}y}\cdot(-x^{3}) e \frac{\partial}{\partial y}\operatorname{sen}(x+2y)=\cos(x+2y)\cdot 2. Logo