Questões sobre convergência e divergência de séries.
(c) O interwlo de convergència da série de potências \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(2 x-7)^{n}}{n 7^{n}} é (0, 7)

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(2x-7)^{n}}{n\,7^{n}}
e pede o intervalo de convergência dessa série.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A série é uma soma sobre n=1,2,\dots com termo geral (-1)^{n}\dfrac{(2x-7)^{n}}{n\,7^{n}}.
  • A incógnita é x; queremos os valores de x para os quais a série converge.
  • Não há restrições adicionais dadas no enunciado.

Passo 2

Vamos transformar a expressão para ver claramente a forma “série de potências” em um parâmetro simples. Defina
z=\frac{2x-7}{7}.
Substituindo, o termo geral fica
(-1)^{n}\frac{(2x-7)^{n}}{n\,7^{n}} = \frac{(-1)^{n} z^{n}}{n}.
Ou seja, a série é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n} z^{n}}{n}.
Aqui z é uma função afim de x. Primeiro vamos encontrar o raio de convergência em termos de z; depois traduzimos para x.

Passo 3

Para o raio de convergência de uma série do tipo \sum c_n z^n podemos usar o teste da raiz: o raio R satisfaz
\frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}.
No nosso caso c_n = \dfrac{(-1)^{n}}{n}, então |c_n|=\dfrac{1}{n} e
\sqrt[n]{|c_n|}=\sqrt[n]{\frac{1}{n}}=(\tfrac{1}{n})^{1/n}\xrightarrow[n\to\infty]{}1.
Logo \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}=1, portanto o raio é R=1. Isto significa convergência absoluta para |z|<1 e divergência absoluta para |z|>1.

Passo 4

Agora traduzimos a condição |z|<1 de volta para x. Lembrando z=\dfrac{2x-7}{7}, temos
\left|\frac{2x-7}{7}\right|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |2x-7|<7.
Resolvendo a desigualdade:
-7<2x-7<7 \quad\Longrightarrow\quad 0<2x<14 \quad\Longrightarrow\quad 0<x<7.
Portanto, no interior do intervalo (0,7) a série converge (na verdade converge absolutamente quando |z|<1).

Passo 5

Precisamos agora verificar os extremos x=0 e x=7, porque o raio deu a parte aberta (0,7) e os extremos podem ser incluídos ou não.
Teste em x=0:
  • Se x=0 então 2x-7=-7 e z=\dfrac{-7}{7}=-1.
  • A série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(-1)^{n}}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
pois (-1)^{n}(-1)^{n}=(-1)^{2n}=1.
  • Esta é a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}, que é conhecida por divergir (pode-se ver por comparação com integrais ou pela soma parcial crescendo sem limite).
  • Conclusão: em x=0 a série diverge.

Passo 6

Teste em x=7:
  • Se x=7 então 2x-7=7 e z=\dfrac{7}{7}=1.
  • A série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}.
  • Esta é a série alternada \sum (-1)^{n}/n. Podemos aplicar o critério de Leibniz (teste da série alternada): se os termos positivos b_n=\dfrac{1}{n} são monotonamente decrescentes e tendem a 0, então \sum (-1)^{n}b_n converge.
  • Aqui b_n=\dfrac{1}{n} é decrescente para n\ge1 e tende a 0, logo a série converge (não absolutamente, pois \sum 1/n diverge; portanto é convergência condicional).
  • Conclusão: em x=7 a série converge (condicionalmente).

Passo 7

Juntando tudo:
  • Convergência para 0<x<7 (aberto) a partir do raio R=1.
  • Diverge em x=0.
  • Converge em x=7 (condicionalmente).
Portanto o intervalo de convergência é (0,7].

Resposta

(0,7]

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