Questões sobre convergência e divergência de séries.
(c) O interwlo de convergència da série de potências \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(2 x-7)^{n}}{n 7^{n}} é (0, 7)
Esta é a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}, que é conhecida por divergir (pode-se ver por comparação com integrais ou pela soma parcial crescendo sem limite).
Conclusão: em x=0 a série diverge.
Passo 6
Teste em x=7:
Se x=7 então 2x-7=7 e z=\dfrac{7}{7}=1.
A série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}.
Esta é a série alternada \sum (-1)^{n}/n. Podemos aplicar o critério de Leibniz (teste da série alternada): se os termos positivos b_n=\dfrac{1}{n} são monotonamente decrescentes e tendem a 0, então \sum (-1)^{n}b_n converge.
Aqui b_n=\dfrac{1}{n} é decrescente para n\ge1 e tende a 0, logo a série converge (não absolutamente, pois \sum 1/n diverge; portanto é convergência condicional).
Conclusão: em x=7 a série converge (condicionalmente).
Passo 7
Juntando tudo:
Convergência para 0<x<7 (aberto) a partir do raio R=1.