Questão 4. Considere uma partícula descrita, no instante t=0\), pela função de onda \[\varphi(x, 0)= \begin{cases}A\left(x^{2}-a^{2}\right), & -a<x<a \\\\ 0, & x<-a \text { ou } x>a\end{cases}
em que A\] e \(a são constantes reais positivas.
a) Normalize \varphi(x, 0).
b) Calcule \Delta x \Delta p, considerando \hat{p}=-i \hbar \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} x}.
c) Discuta se o resultado obtido está de acordo com o princípio de incerteza de Heisenberg.

Passo 1

O enunciado dá a função de onda no instante t=0\) \[\varphi(x,0)=\begin{cases} A\bigl(x^{2}-a^{2}\bigr), & -a<x<a,\\[4pt] 0, & x\le -a \text{ ou } x\ge a, \end{cases}
com A>0\] e \(a>0. As perguntas são:
  • (a) normalizar \varphi(x,0), ou seja achar A tal que \int_{-\infty}^{\infty}|\varphi(x,0)|^{2}\,\mathrm{d}x=1;
  • (b) calcular \Delta x\,\Delta p usando \hat p=-i\hbar\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (ou seja obter \Delta x e \Delta p e o produto);
  • (c) discutir se o resultado está de acordo com o princípio da incerteza de Heisenberg.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função está suportada apenas em [-a,a].
  • \varphi(x,0) é real e é uma função par (isto simplifica várias expectativas).]

Passo 2

Normalização: colocar a condição
\int_{-\infty}^{\infty}|\varphi(x,0)|^{2}\,\mathrm{d}x = \int_{-a}^{a}A^{2}\bigl(x^{2}-a^{2}\bigr)^{2}\,\mathrm{d}x =1.
Como o integrando é par, escrevo
\int_{-a}^{a}\bigl(x^{2}-a^{2}\bigr)^{2}\,\mathrm{d}x =2\int_{0}^{a}\bigl(x^{2}-a^{2}\bigr)^{2}\,\mathrm{d}x.
Expando o quadrado e integro termo a termo:
\bigl(x^{2}-a^{2}\bigr)^{2}=x^{4}-2a^{2}x^{2}+a^{4},
\int_{0}^{a}\bigl(x^{4}-2a^{2}x^{2}+a^{4}\bigr)\,\mathrm{d}x =\left[\frac{x^{5}}{5}-2a^{2}\frac{x^{3}}{3}+a^{4}x\right]_{0}^{a} =\frac{a^{5}}{5}-\frac{2a^{5}}{3}+a^{5}.
Somando as frações:
\frac{a^{5}}{5}-\frac{2a^{5}}{3}+a^{5}=a^{5}\!\left(\frac{1}{5}-\frac{2}{3}+1\right) = a^{5}\cdot\frac{8}{15}.
Logo
\int_{-a}^{a}\bigl(x^{2}-a^{2}\bigr)^{2}\,\mathrm{d}x=2\cdot\frac{8}{15}a^{5}=\frac{16}{15}a^{5}.
A condição de normalização dá
A^{2}\cdot\frac{16}{15}a^{5}=1\quad\Rightarrow\quad A^{2}=\frac{15}{16a^{5}}.
Escolhendo A>0,
A=\sqrt{\frac{15}{16a^{5}}}.

Passo 3

Cálculo de \Delta x. Primeiro \langle x\rangle:
\langle x\rangle=\int_{-a}^{a}\varphi^{*}(x,0)\,x\,\varphi(x,0)\,\mathrm{d}x = A^{2}\int_{-a}^{a}x\bigl(x^{2}-a^{2}\bigr)^{2}\,\mathrm{d}x.
O integrando é uma função ímpar (produto de x por função par), então \langle x\rangle=0. Assim
\Delta x=\sqrt{\langle x^{2}\rangle}.
Calculo \langle x^{2}\rangle:
\langle x^{2}\rangle = A^{2}\int_{-a}^{a}x^{2}\bigl(x^{2}-a^{2}\bigr)^{2}\,\mathrm{d}x =2A^{2}\int_{0}^{a}x^{2}\bigl(x^{2}-a^{2}\bigr)^{2}\,\mathrm{d}x.
Expando e integro:
x^{2}\bigl(x^{2}-a^{2}\bigr)^{2}=x^{6}-2a^{2}x^{4}+a^{4}x^{2},
\int_{0}^{a}\bigl(x^{6}-2a^{2}x^{4}+a^{4}x^{2}\bigr)\,\mathrm{d}x =\left[\frac{x^{7}}{7}-2a^{2}\frac{x^{5}}{5}+a^{4}\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{a} = a^{7}\!\left(\frac{1}{7}-\frac{2}{5}+\frac{1}{3}\right).
Colocando em denominador comum:
\frac{1}{7}-\frac{2}{5}+\frac{1}{3}=\frac{15-42+35}{105}=\frac{8}{105},
logo
\int_{0}^{a}x^{2}\bigl(x^{2}-a^{2}\bigr)^{2}\,\mathrm{d}x=\frac{8}{105}a^{7}.
Assim
\langle x^{2}\rangle=2A^{2}\cdot\frac{8}{105}a^{7}=A^{2}\cdot\frac{16}{105}a^{7}.
Usando A^{2}=\dfrac{15}{16a^{5}} obtemos
\langle x^{2}\rangle=\frac{15}{16a^{5}}\cdot\frac{16}{105}a^{7}=\frac{15}{105}a^{2}=\frac{1}{7}a^{2}.
Portanto
\Delta x=\sqrt{\langle x^{2}\rangle}=\frac{a}{\sqrt{7}}.

Passo 4

Cálculo de \Delta p. Primeiro \langle p\rangle:
\langle p\rangle=\int_{-a}^{a}\varphi^{*}(x,0)\bigl(-i\hbar\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigr)\varphi(x,0)\,\mathrm{d}x.
Como \varphi(x,0) é real e par, seu derivado é ímpar; o produto \varphi\,\varphi' é ímpar, logo \langle p\rangle=0.
Para \langle p^{2}\rangle uso
\langle p^{2}\rangle =\int_{-a}^{a}\varphi^{*}(x,0)\bigl(-\hbar^{2}\tfrac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}}\bigr)\varphi(x,0)\,\mathrm{d}x.
Integração por partes mostra (e as condições de contorno \varphi(\pm a)=0 aniquilam os termos de fronteira) que
\langle p^{2}\rangle=\hbar^{2}\int_{-a}^{a}\bigl|\varphi'(x,0)\bigr|^{2}\,\mathrm{d}x.
Agora \varphi'(x,0)=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl[A(x^{2}-a^{2})\bigr]=2Ax para -a<x<a. Logo
\int_{-a}^{a}\bigl|\varphi'(x,0)\bigr|^{2}\,\mathrm{d}x =\int_{-a}^{a}(2Ax)^{2}\,\mathrm{d}x=4A^{2}\int_{-a}^{a}x^{2}\,\mathrm{d}x.
E
\int_{-a}^{a}x^{2}\,\mathrm{d}x=2\int_{0}^{a}x^{2}\,\mathrm{d}x=2\cdot\frac{a^{3}}{3}=\frac{2a^{3}}{3}.
Portanto
\int_{-a}^{a}\bigl|\varphi'(x,0)\bigr|^{2}\,\mathrm{d}x=4A^{2}\cdot\frac{2a^{3}}{3}=\frac{8}{3}A^{2}a^{3}.
Substituindo A^{2}=\dfrac{15}{16a^{5}}
\int_{-a}^{a}\bigl|\varphi'(x,0)\bigr|^{2}\,\mathrm{d}x =\frac{8}{3}\cdot\frac{15}{16a^{5}}\cdot a^{3} =\frac{8\cdot15}{3\cdot16}\cdot\frac{1}{a^{2}} =\frac{120}{48}\cdot\frac{1}{a^{2}}=\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{a^{2}}.
Assim
\langle p^{2}\rangle=\hbar^{2}\cdot\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{a^{2}}=\frac{5\hbar^{2}}{2a^{2}},
e
\Delta p=\sqrt{\langle p^{2}\rangle}=\frac{\hbar}{a}\sqrt{\frac{5}{2}}.

Passo 5

Produto das incertezas:
\Delta x\,\Delta p =\frac{a}{\sqrt{7}}\cdot\frac{\hbar}{a}\sqrt{\frac{5}{2}} =\hbar\sqrt{\frac{5}{14}}.
Valor numérico aproximado:
\sqrt{\frac{5}{14}}\approx 0{,}598\quad\Rightarrow\quad \Delta x\,\Delta p\approx 0{,}598\,\hbar.
Comparação com o limite de Heisenberg \dfrac{\hbar}{2}=0{,}5\,\hbar: tem-se
\Delta x\,\Delta p=\hbar\sqrt{\frac{5}{14}}>\frac{\hbar}{2}.
Portanto o resultado satisfaz o princípio da incerteza. Observação conceitual: a igualdade \Delta x\,\Delta p=\hbar/2 ocorre somente para estados de incerteza mínima (funções de onda gaussianas apropriadas). A função dada não é gaussiana, logo espera-se uma desigualdade estrita.

Resposta

(a) A=\sqrt{\dfrac{15}{16a^{5}}}.
(b) \Delta x=\dfrac{a}{\sqrt{7}},\quad \Delta p=\dfrac{\hbar}{a}\sqrt{\dfrac{5}{2}},\quad \Delta x\,\Delta p=\hbar\sqrt{\dfrac{5}{14}}\approx 0{,}598\,\hbar.
(c) Sim. \Delta x\,\Delta p=\hbar\sqrt{\dfrac{5}{14}}>\dfrac{\hbar}{2}, portanto o resultado está de acordo com o princípio de incerteza de Heisenberg.

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