Questão 4. Considere uma partícula descrita, no instante t=0\), pela função de onda
\[\varphi(x, 0)= \begin{cases}A\left(x^{2}-a^{2}\right), & -a<x<a \\\\ 0, & x<-a \text { ou } x>a\end{cases}
em que A\] e \(a são constantes reais positivas.
a) Normalize \varphi(x, 0).
b) Calcule \Delta x \Delta p, considerando \hat{p}=-i \hbar \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} x}.
c) Discuta se o resultado obtido está de acordo com o princípio de incerteza de Heisenberg.
Passo 1
O enunciado dá a função de onda no instante t=0\)
\[\varphi(x,0)=\begin{cases} A\bigl(x^{2}-a^{2}\bigr), & -a<x<a,\\[4pt] 0, & x\le -a \text{ ou } x\ge a, \end{cases}
com A>0\] e \(a>0. As perguntas são:
(a) normalizar \varphi(x,0), ou seja achar A tal que \int_{-\infty}^{\infty}|\varphi(x,0)|^{2}\,\mathrm{d}x=1;
(b) calcular \Delta x\,\Delta p usando \hat p=-i\hbar\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (ou seja obter \Delta x e \Delta p e o produto);
(c) discutir se o resultado está de acordo com o princípio da incerteza de Heisenberg.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A função está suportada apenas em [-a,a].
\varphi(x,0) é real e é uma função par (isto simplifica várias expectativas).]
Portanto o resultado satisfaz o princípio da incerteza. Observação conceitual: a igualdade \Delta x\,\Delta p=\hbar/2 ocorre somente para estados de incerteza mínima (funções de onda gaussianas apropriadas). A função dada não é gaussiana, logo espera-se uma desigualdade estrita.
(c) Sim. \Delta x\,\Delta p=\hbar\sqrt{\dfrac{5}{14}}>\dfrac{\hbar}{2}, portanto o resultado está de acordo com o princípio de incerteza de Heisenberg.