Questão 3. Considere uma partícula de massa m\) que pode se mover livremente sobre o eixo \(x\) entre os pontos \(x= \pm a / 2\), mas está estritamente proibida de ser encontrada fora dessa região. A função de onda da partícula é
\[\psi(x, t)= \begin{cases}A \operatorname{sen}\left(\frac{2 \pi x}{a}\right) e^{-i E t / \hbar}, & -\frac{a}{2}<x<\frac{a}{2} \\\\ 0, & x \leq-\frac{a}{2} \text { ou } x \geq \frac{a}{2}\end{cases}
a) Normalize a função de onda.
b) Calcule \Delta x=\sqrt{\left\langle x^{2}\right\rangle-\langle x\rangle^{2}}\].
c) Calcule \(\Delta p, usando \hat{p}=-i \hbar \frac{\partial}{\partial x}.
d) Verifique se \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}.
e) Qual é o local mais provável de se localizar a partícula? Use \frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} x}=0, \operatorname{com} \rho=|\psi|^{2}.
f) Calcule explicitamente a probabilidade de encontrar a partícula na região -a / 2<x<0.
g) Compare e discuta o resultado encontrado no item e) com \langle x\rangle. O que está acontecendo?
Passo 1
O enunciado dá a função de onda (eu peguei tudo do enunciado):
Perguntas a responder:
a) Normalizar a função de onda (achar A).
b) Calcular \Delta x=\sqrt{\langle x^2\rangle-\langle x\rangle^2}.
c) Calcular \Delta p usando \hat p=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}.
d) Verificar se \Delta x\,\Delta p\ge \dfrac{\hbar}{2}.
e) Encontrar o(s) ponto(s) de máxima probabilidade (usar \dfrac{d\rho}{dx}=0 com \rho=|\psi|^2).
f) Calcular a probabilidade de achar a partícula em -\dfrac{a}{2}<x<0.
g) Comparar e discutir o resultado do item (e) com \langle x\rangle.
Todas as integrais são no intervalo -\dfrac{a}{2} a \dfrac{a}{2} quando não indicado.]
A parte espacial \varphi(x)=A\sin\!\bigl(\tfrac{2\pi x}{a}\bigr) é uma função ímpar (pois \sin é ímpar). Então x\,\varphi^2(x) é ímpar vezes par? Mais direto: |\psi|^2 = |A|^2\sin^2(\tfrac{2\pi x}{a}) é função par, mas multiplicando por x obtemos uma função ímpar. A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero. Portanto
Fazemos a primitiva geral (integração por partes duas vezes) ou usamos a fórmula
\int x^2\cos(bx)\,dx = \frac{x^2}{b}\sin(bx) + \frac{2x}{b^2}\cos(bx) - \frac{2}{b^3}\sin(bx) + C.
Aqui b=\dfrac{4\pi}{a}. Avaliando entre x=-\dfrac{a}{2} e x=\dfrac{a}{2}: como b\cdot \dfrac{a}{2}=2\pi, os termos com \sin(bx) desaparecem (pois \sin(2\pi)=0), e \cos(bx)=1 tanto em x=\tfrac{a}{2} quanto em x=-\tfrac{a}{2}. Então, a diferença resulta apenas dos termos lineares em x:
A parte espacial \varphi(x)=A\sin(kx) com k=\dfrac{2\pi}{a} é real. Então \psi^*\partial_x\psi = \varphi\partial_x\varphi (o fator de fase temporal cancela porque derivada é em x). Mas \varphi\partial_x\varphi = \tfrac{1}{2}\partial_x(\varphi^2). Assim
Como \varphi(\pm\tfrac{a}{2})=0 (condição de contorno do poço), o termo de fronteira é zero, então \langle p\rangle=0. (Também pode-se ver por simetria: distribuição de probabilidade é par, esperado do impulso é zero.)
Passo 7
Cálculo de \langle p^2\rangle e \Delta p. Usar o operador \hat p^2=-\hbar^2\partial^2/\partial x^2. Para \varphi(x)=A\sin(kx),
pois a função está normalizada. Então \Delta p = \sqrt{\langle p^2\rangle-\langle p\rangle^2} = \hbar k. Como k=\dfrac{2\pi}{a},
\Delta p = \hbar\frac{2\pi}{a} = \frac{2\pi\hbar}{a}.
Observação física curta: essa função é um autovetor da energia do poço (número quântico n=2), e a energia cinética média dá exatamente \langle p^2\rangle/2m.
Passo 8
Verificação da desigualdade de Heisenberg. Produto
\Delta x\,\Delta p = a\sqrt{\frac{1}{12}-\frac{1}{8\pi^2}}\cdot\frac{2\pi\hbar}{a} = 2\pi\hbar\sqrt{\frac{1}{12}-\frac{1}{8\pi^2}}.
Fazendo uma avaliação numérica rápida (para ver a comparação):
Dentro do intervalo -\tfrac{a}{2}<x<\tfrac{a}{2} os candidatos são x=-\tfrac{a}{4},\,0,\,\tfrac{a}{4}. Para distinguir máximos e mínimos, verificar o valor de \rho:
Como \sin^2(kx) é função par, a integral do lado negativo é igual à integral do lado positivo e vale metade da integral total. Como a integral total (entre -\tfrac{a}{2} e \tfrac{a}{2}) dá 1/|A|^2\cdot 1 pela normalização, segue que a probabilidade do lado esquerdo é 1/2. Explicitamente:
P\bigl(-\tfrac{a}{2}<x<0\bigr)=\frac{1}{2}.
Passo 11
Discussão (item g): o item (e) deu que os pontos de máxima probabilidade são x=\pm \tfrac{a}{4}, enquanto \langle x\rangle=0. O que está acontecendo?
A média \langle x\rangle é a média (valor esperado) da posição, ou seja, o centro de massa da distribuição de probabilidade; para uma distribuição simétrica em torno de zero, \langle x\rangle=0.
O(s) modo(s) (ponto(s) de máxima probabilidade) são os valores de x onde \rho(x) é máximo; aqui a distribuição é simétrica e bimodal, com picos em \pm a/4.
Portanto não há contradição: a média pode ficar no ponto central entre os dois picos (onde, inclusive, a densidade é mínima) — média e modo são conceitos diferentes. Em palavras leves: a “posição média” está no centro por simetria, mesmo que a partícula tenda a ser encontrada nos picos laterais.
Resposta
(a) A=\sqrt{\dfrac{2}{a}}
(b) \displaystyle \Delta x = a\sqrt{\frac{1}{12}-\frac{1}{8\pi^2}}
(c) \displaystyle \Delta p = \frac{2\pi\hbar}{a}
(d) \displaystyle \Delta x\,\Delta p = 2\pi\hbar\sqrt{\frac{1}{12}-\frac{1}{8\pi^2}}\approx 1{,}67\,\hbar \ge \frac{\hbar}{2}
(e) Pontos de máxima probabilidade: x=\pm \dfrac{a}{4}
(f) P\bigl(-\tfrac{a}{2}<x<0\bigr)=\dfrac{1}{2}
(g) A média \langle x\rangle=0 porque a distribuição é simétrica; os modos (picos de \rho) estão em \pm a/4. Média (mean) e moda (mode) são conceitos diferentes, logo não há contradição.