Sejam
e
transformações lineares.
(a) Achar um exemplo em que
não é invertível e um outro em ane
o
é invertivel
(b) Provar que
não é invertível.
(a) Achar um exemplo em que
(b) Provar que
Passo 1
O enunciado nos dá duas transformações lineares
e
.
Em (a) devemos exhibir um par de exemplos em que a composição
não seja invertível, e outro em que seja invertível.
Em (b) provamos que
nunca pode ser invertível. Para isso vamos usar ideias de núcleo, imagem e posto de uma transformação linear.
Em (a) devemos exhibir um par de exemplos em que a composição
não seja invertível, e outro em que seja invertível.
Em (b) provamos que
nunca pode ser invertível. Para isso vamos usar ideias de núcleo, imagem e posto de uma transformação linear.
Passo 2
Exemplo em que
não é invertível.
Defina
Defina
Então, para
,
Esta aplicação tem núcleo
, logo não é injetora nem invertível.
Passo 3
Exemplo em que
é invertível.
Defina agora
Defina agora
Então
que é exatamente a identidade em
. A identidade é bijetora e, portanto, invertível.
Passo 4
Prova de que
não é invertível.
A transformação vai de
em
. Pelo Teorema do Posto e da Nulidade temos
A transformação
Mas
pois
, e
pois
. Assim
o que implica que
não é sobrejetora e portanto não pode ser invertível.
Resposta
(a) Um exemplo de
não invertível é
,
pois tem núcleo não-trivial.
Um exemplo de invertível é
,
pois .
(b) Em geral , logo
não é sobrejetora e não é invertível.
pois
Um exemplo de
pois
(b) Em geral