Sejam T: R^3 R^2 e S: R^2 R^3 transformações lineares.
(a) Achar um exemplo em que T circ S não é invertível e um outro em ane T o S é invertivel
(b) Provar que S circ T não é invertível.

Passo 1

O enunciado nos dá duas transformações lineares
Tcolon R^3toR^2 e Scolon R^2toR^3.
Em (a) devemos exhibir um par de exemplos em que a composição
Tcirc Scolon R^2toR^2
não seja invertível, e outro em que seja invertível.
Em (b) provamos que
Scirc Tcolon R^3toR^3
nunca pode ser invertível. Para isso vamos usar ideias de núcleo, imagem e posto de uma transformação linear.

Passo 2

Exemplo em que Tcirc S não é invertível.
Defina
S(x,y) = (,x,;y,;0,)inR^3,
T(u,v,w) = (,u,;0,)inR^2
Então, para (x,y)inR^2,
(Tcirc S)(x,y) ;=; Tl(x,y,0r) ;=;(x,0)
Esta aplicação tem núcleo (0,y):yinRne0, logo não é injetora nem invertível.

Passo 3

Exemplo em que Tcirc S é invertível.
Defina agora
S(x,y) = (,x,;y,;0,), T(u,v,w) = (,u,;v,)
Então
(Tcirc S)(x,y) = Tl(x,y,0r) = (x,y),
que é exatamente a identidade em R^2. A identidade é bijetora e, portanto, invertível.

Passo 4

Prova de que Scirc T não é invertível.
A transformação Scirc T vai de R^3 em R^3. Pelo Teorema do Posto e da Nulidade temos
rank(Scirc T);<=;minrank,T,;rank,S
Mas rank,T<=2 pois TcolonR^3toR^2, e rank,S<=2 pois ScolonR^2toR^3. Assim
rank(Scirc T)<=2<3=dimR^3,
o que implica que Scirc T não é sobrejetora e portanto não pode ser invertível.

Resposta

(a) Um exemplo de Tcirc S não invertível é
;S(x,y)=(x,y,0),;T(u,v,w)=(u,0),
pois (Tcirc S)(x,y)=(x,0) tem núcleo não-trivial.
Um exemplo de Tcirc S invertível é
;S(x,y)=(x,y,0),;T(u,v,w)=(u,v),
pois Tcirc S=idR^2.
(b) Em geral rank(Scirc T)<=2<3, logo Scirc TcolonR^3toR^3 não é sobrejetora e não é invertível.

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