Questão 2. Considere uma partícula de carga elétrica q=+1 \mathrm{C} que penetra em uma região de campo magnético com velocidade \vec{v}=(4 \hat{i}+3 \hat{j}) \mathrm{m} / \mathrm{s}. A força magnética sentida pela carga nesta região é de \vec{F}_{B}=-18 \hat{k} \mathrm{~N}. Sabe-se que a massa da partícula é de 60 g e que as componentes y e z do campo magnético são iguais. Note-se que \hat{i}, \hat{j} e \hat{k} são vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente. Com base nessas informações, calcule:
a) (1.0) O vetor campo magnético.
b) (1.0) O cosseno do ângulo formado entre \vec{B} e \vec{v}. Comente também sobre o tipo de trajetória da partícula (justifique sua resposta)
c) (1.0) O deslocamento da partícula ao longo da direção paralela ao campo magnético depois de transcorrido um período de rotação.
d) (0.5) O raio da trajetória da partícula.

Passo 1

O enunciado dá uma partícula de carga q=+1\,\mathrm{C} com velocidade \vec v = 4\hat i + 3\hat j
e força magnética \vec F_B = -18\,\hat k, \mathrm{N}.
Como sabemos que \vec F_B = q\,\vec v\times\vec B
e que as componentes y e z de \vec B são iguais, vamos chamar \vec B = B_x\,\hat i + b\,\hat j + b\,\hat k.

Passo 2

Calculemos o produto vetorial
\vec v \times \vec B = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k\\\\ 4 & 3 & 0\\\ B_x & b & b \end{vmatrix} = 3b\,\hat i \;-\;4b\,\hat j\;+\;(4b-3B_x)\,\hat k.
Como \vec F_B = q\,\vec v\times\vec B = \vec v\times\vec B deve ser -18\,\hat k, igualamos cada componente:
- Componente x: 3b=0 b=0.
- Componente y: -4b=0 (consistente).
- Componente k: 4b-3B_x=-18 -3B_x=-18 B_x=6.
Portanto
\boxed{\vec B = 6\,\hat i + 0\,\hat j + 0\,\hat k\;\text{(tesla)}}.

Passo 3

Para o cosseno do ângulo \theta entre \vec B e \vec v:
\cos\theta =\frac{\vec B\cdot\vec v}{\|\vec B\|\|\vec v\|} =\frac{6\cdot4 + 0\cdot3 + 0\cdot0}{6\;\times\;5} =\frac{24}{30} =0{,}8.
Como 0<\theta<\pi/2, há componente de \vec v paralela a \vec B v_x=4 e componente perpendicular v_\perp=3. Logo, a partícula descreve uma hélice em torno da direção de \vec B.

Passo 4

O período de rotação (movimento circular no plano perpendicular) é
\omega = \frac{qB}{m} =\frac{1\cdot6}{0{,}06} =100\;\mathrm{rad/s},\qquad T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{100}=\frac{\pi}{50}\,\mathrm{s}.
O deslocamento ao longo de \vec B é
\Delta x = v_{\parallel}\,T =4\,\times\frac{\pi}{50} =\frac{4\pi}{50} =0{,}08\pi\approx0{,}251\;\mathrm{m}.

Passo 5

O raio da parte circular da hélice é
r = \frac{m\,v_\perp}{qB} =\frac{0{,}06\cdot3}{1\cdot6} =\frac{0{,}18}{6} =0{,}03\;\mathrm{m}.

Resposta

a) \vec B = 6\,\hat i\;\mathrm{T}.
b) \cos\theta=0{,}8. A trajetória é hélice, pois há componente de v paralela a \vec B.
c) \Delta x=0{,}08\pi\approx0{,}251\;\mathrm{m}.
d) r=0{,}03\;\mathrm{m}.

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