Questão 1: Uma esfera não-condutora, maciça, de raio a, está carregada com uma distribuição de carga igual a \rho(r)=A r^{2}, onde A é uma constante positiva.
Utilizando a lei de Gauss na forma integral, determine:
a) ( 1,5 ponto) A magnitude do campo elétrico E no interior da esfera, isto é, na região r<a.
b) ( 1,5 ponto) A magnitude do campo elétrico E no exterior da esfera, isto é, na região r>a.
c) ( 0,5 ponto) Esboce um gráfico do campo elétrico E em todo o espaço, isto é, na região 0<r<\infty.

Passo 1

O enunciado trata de uma esfera não condutora de raio a com densidade volumétrica de carga \rho(r)=A\,r^2. Temos simetria esférica, portanto usaremos a forma integral da lei de Gauss para campos elétricos. Precisaremos calcular a carga total contida em uma superfície gaussiana esférica de raio genérico r e depois aplicar
\oint_{\mathcal S} \mathbf E\cdot d\mathbf S = \frac{Q_{\rm int}}{\varepsilon_0}
para determinar E(r) em cada região r<a e r>a.

Passo 2

Calcular a carga contida dentro de uma esfera de raio r<a. Usamos
Q_{\rm int}(r)=\int_{0}^{r}\rho(r')\,4\pi r'^{2}\,dr' =\int_{0}^{r}A\,r'^{2}\;4\pi r'^{2}\,dr' =4\pi A\int_{0}^{r}r'^{4}\,dr'.
Fazendo a integral:
Q_{\rm int}(r) =4\pi A\cdot\frac{r^{5}}{5} =\frac{4\pi A\,r^{5}}{5}.

Passo 3

Determinar E(r) para r<a. A superfície gaussiana é uma esfera de área 4\pi r^{2} e, pela lei de Gauss,
E(r)\,4\pi r^{2} = \frac{Q_{\rm int}(r)}{\varepsilon_{0}} =\frac{1}{\varepsilon_{0}}\;\frac{4\pi A\,r^{5}}{5}.
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E(r) =\frac{4\pi A\,r^{5}}{5\,\varepsilon_{0}\,4\pi r^{2}} =\frac{A\,r^{3}}{5\,\varepsilon_{0}}, \quad (r<a).

Passo 4

Determinar E(r) para r>a. Primeiro encontramos a carga total da esfera, que é Q_{\rm tot}=Q_{\rm int}(a)=4\pi A\,a^{5}/5. Para r>a toda essa carga está dentro da superfície gaussiana de raio r, então
E(r)\,4\pi r^{2} =\frac{Q_{\rm tot}}{\varepsilon_{0}} =\frac{1}{\varepsilon_{0}}\;\frac{4\pi A\,a^{5}}{5} \quad\Longrightarrow\quad E(r) =\frac{A\,a^{5}}{5\,\varepsilon_{0}\,r^{2}}, \quad (r>a).

Passo 5

Esboço qualitativo de E versus r:
  • Em r=0, E=0.
  • Para 0<r<a, E(r)\propto r^{3}, ou seja, cresce rapidamente até r=a.
  • Em r=a atinge o valor máximo
E(a)=\frac{A\,a^{3}}{5\,\varepsilon_{0}}.
  • Para r>a, decai como 1/r^{2}.
    O gráfico é uma curva subindo como r^{3} até r=a e depois caindo como r^{-2} até zero à medida que r\to\infty.

Resposta

a) Para r<a:
E(r)=\frac{A\,r^{3}}{5\,\varepsilon_{0}}.
b) Para r>a:
E(r)=\frac{A\,a^{5}}{5\,\varepsilon_{0}\,r^{2}}.
c) Gráfico de E versus r: cresce como r^{3} em 0<r<a, alcança máximo em r=a e depois decai como r^{-2} para r>a.

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