Questão 1: Uma esfera não-condutora, maciça, de raio
, está carregada com uma distribuição de carga igual a
, onde
é uma constante positiva.
Utilizando a lei de Gauss na forma integral, determine:
a) ( 1,5 ponto) A magnitude do campo elétrico
no interior da esfera, isto é, na região
.
b) ( 1,5 ponto) A magnitude do campo elétrico
no exterior da esfera, isto é, na região
.
c) ( 0,5 ponto) Esboce um gráfico do campo elétrico
em todo o espaço, isto é, na região
.
Utilizando a lei de Gauss na forma integral, determine:
a) ( 1,5 ponto) A magnitude do campo elétrico
b) ( 1,5 ponto) A magnitude do campo elétrico
c) ( 0,5 ponto) Esboce um gráfico do campo elétrico
Passo 1
O enunciado trata de uma esfera não condutora de raio
com densidade volumétrica de carga
. Temos simetria esférica, portanto usaremos a forma integral da lei de Gauss para campos elétricos. Precisaremos calcular a carga total contida em uma superfície gaussiana esférica de raio genérico
e depois aplicar
para determinar
em cada região
e
.
Passo 2
Calcular a carga contida dentro de uma esfera de raio
. Usamos
Fazendo a integral:
Passo 3
Determinar
para
. A superfície gaussiana é uma esfera de área
e, pela lei de Gauss,
Logo
Passo 4
Determinar
para
. Primeiro encontramos a carga total da esfera, que é
. Para
toda essa carga está dentro da superfície gaussiana de raio
, então
Passo 5
Esboço qualitativo de
versus
:
- Em
, . - Para
, , ou seja, cresce rapidamente até . - Em
atinge o valor máximo
- Para
, decai como .
O gráfico é uma curva subindo comoaté e depois caindo como até zero à medida que .
Resposta
a) Para
:
b) Para
:
c) Gráfico de
versus
: cresce como
em
, alcança máximo em
e depois decai como
para
.