Questão 3.4 Para um sistema com três coordenadas generalizadas q_{1}, q_{2}, q_{3} e uma função Lagrangiana:
L\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}, \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \dot{q}_{3}\right)=T\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}, \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \dot{q}_{3}\right)-U\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right)
onde T é a energia cinética e U é a energia potencial, determine as equações de Euler-Lagrange para este sistema.

Passo 1

O enunciado dá um sistema com três coordenadas generalizadas q_{1}, q_{2}, q_{3} e a Lagrangiana
L\left(q_{1},q_{2},q_{3},\dot{q}_{1},\dot{q}_{2},\dot{q}_{3}\right)=T\left(q_{1},q_{2},q_{3},\dot{q}_{1},\dot{q}_{2},\dot{q}_{3}\right)-U\left(q_{1},q_{2},q_{3}\right).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • As variáveis dinâmicas são \;q_{1}(t),q_{2}(t),q_{3}(t)\; e suas velocidades \;\dot{q}_{1},\dot{q}_{2},\dot{q}_{3}.
  • T é a energia cinética e pode depender tanto das coordenadas q_{i} quanto das velocidades \dot{q}_{i}.
  • U é a energia potencial e depende apenas das coordenadas q_{i} (não depende das velocidades).
    O que o enunciado pede:
  • Determinar as equações de Euler–Lagrange para este sistema (ou seja, as equações de movimento associadas à Lagrangiana dada).

Passo 2

Ideia principal (sem matemática pesada ainda): a condição que determina a trajetória física das q_{i}(t) é que a ação S=\int L\,dt seja estacionária (variação zero) frente a pequenas variações das trajetórias que mantêm as extremidades fixas. Essa condição leva, por cálculo das variações, às equações diferenciais que chamamos de Euler–Lagrange. Agora vou mostrar o cálculo passo a passo para obter essas equações.

Passo 3

Começamos definindo a ação
S[q]=\int_{t_{1}}^{t_{2}} L\big(q_{1},q_{2},q_{3},\dot{q}_{1},\dot{q}_{2},\dot{q}_{3}\big)\,dt.
Considere variações das trajetórias \;q_{i}(t)\mapsto q_{i}(t)+\varepsilon\,\eta_{i}(t)\; com \eta_{i}(t_{1})=\eta_{i}(t_{2})=0 e \varepsilon pequeno. A variação da ação até primeira ordem em \varepsilon é
\delta S=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\sum_{i=1}^{3}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{i}}\eta_{i}+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\dot{\eta}_{i}\right)dt.
Aqui escrevi explicitamente a soma sobre as três coordenadas; cada termo vem da regra da variação (derivada parcial de L em relação a q_{i} e \dot{q}_{i} multiplicada pela variação correspondente).

Passo 4

Agora integramos por partes o termo que contém \dot{\eta}_{i} para transferir a derivada para \partial L/\partial\dot{q}_{i}. Para cada i,
\int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\dot{\eta}_{i}\,dt =\left.\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\eta_{i}\right|_{t_{1}}^{t_{2}} -\int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right)\eta_{i}\,dt.
Como \eta_{i}(t_{1})=\eta_{i}(t_{2})=0, o termo de contorno some e obtemos, reunindo tudo,
\delta S=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\sum_{i=1}^{3}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{i}}-\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right)\right)\eta_{i}\,dt.
Para que \delta S=0 para quaisquer funções \eta_{i}(t) (com as extremidades fixas), cada coeficiente da \eta_{i} dentro da integral deve ser zero. Isso dá as equações diferenciais desejadas.

Passo 5

Escrevendo explicitamente a condição anterior obtemos, para cada i=1,2,3,
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=0.
Estas são as equações de Euler–Lagrange no caso de três coordenadas generalizadas. Elas são três equações diferenciais de segunda ordem que determinam \;q_{1}(t),q_{2}(t),q_{3}(t).

Passo 6

Agora usemos a forma específica L=T-U. Como U não depende de \dot{q}_{i}, temos
\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}=\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}} \quad\text{e}\quad \frac{\partial L}{\partial q_{i}}=\frac{\partial T}{\partial q_{i}}-\frac{\partial U}{\partial q_{i}}.
Substituindo na equação de Euler–Lagrange obtemos, para cada i,
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{i}}+\frac{\partial U}{\partial q_{i}}=0,
ou, rearranjando,
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{i}}=-\frac{\partial U}{\partial q_{i}}.
Essa forma é muito útil na prática: o lado esquerdo contém os termos inerciais (derivados de T) e o lado direito são as forças generalizadas conservativas derivadas do potencial U.

Passo 7

Para você aplicar isso em prova (dica prática e amigável): calcule passo a passo as derivadas parciais necessárias.
  • Primeiro calcule \partial T/\partial \dot{q}_{i} (derivando T tratando q_{j} como constantes).
  • Depois calcule \dfrac{d}{dt}\big(\partial T/\partial \dot{q}_{i}\big) usando a regra da cadeia (pode gerar termos com \ddot{q}_{j} e termos com \dot{q}_{j}\dot{q}_{k} se T depende de q também).
  • Calcule \partial T/\partial q_{i} e \partial U/\partial q_{i} normalmente.
  • Substitua na equação \dfrac{d}{dt}\big(\partial T/\partial \dot{q}_{i}\big)-\partial T/\partial q_{i}+\partial U/\partial q_{i}=0.
    Um exemplo rápido (comum): se
T=\tfrac{1}{2}\sum_{j,k}a_{jk}(q)\,\dot{q}_{j}\dot{q}_{k}\quad\text{com}\quad a_{jk}=a_{kj},
então
\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}=\sum_{k}a_{ik}(q)\,\dot{q}_{k},
e
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}\right)=\sum_{k}a_{ik}\ddot{q}_{k}+\sum_{k,m}\frac{\partial a_{ik}}{\partial q_{m}}\dot{q}_{m}\dot{q}_{k},
mostrando como surgem termos de acelerações e termos com produtos de velocidades.

Resposta

\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{1}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{1}}=0
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{2}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{2}}=0
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{3}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{3}}=0

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