As variáveis dinâmicas são \;q_{1}(t),q_{2}(t),q_{3}(t)\; e suas velocidades \;\dot{q}_{1},\dot{q}_{2},\dot{q}_{3}.
T é a energia cinética e pode depender tanto das coordenadas q_{i} quanto das velocidades \dot{q}_{i}.
U é a energia potencial e depende apenas das coordenadas q_{i} (não depende das velocidades).
O que o enunciado pede:
Determinar as equações de Euler–Lagrange para este sistema (ou seja, as equações de movimento associadas à Lagrangiana dada).
Passo 2
Ideia principal (sem matemática pesada ainda): a condição que determina a trajetória física das q_{i}(t) é que a ação S=\int L\,dt seja estacionária (variação zero) frente a pequenas variações das trajetórias que mantêm as extremidades fixas. Essa condição leva, por cálculo das variações, às equações diferenciais que chamamos de Euler–Lagrange. Agora vou mostrar o cálculo passo a passo para obter essas equações.
Considere variações das trajetórias \;q_{i}(t)\mapsto q_{i}(t)+\varepsilon\,\eta_{i}(t)\; com \eta_{i}(t_{1})=\eta_{i}(t_{2})=0 e \varepsilon pequeno. A variação da ação até primeira ordem em \varepsilon é
Aqui escrevi explicitamente a soma sobre as três coordenadas; cada termo vem da regra da variação (derivada parcial de L em relação a q_{i} e \dot{q}_{i} multiplicada pela variação correspondente).
Passo 4
Agora integramos por partes o termo que contém \dot{\eta}_{i} para transferir a derivada para \partial L/\partial\dot{q}_{i}. Para cada i,
Para que \delta S=0 para quaisquer funções \eta_{i}(t) (com as extremidades fixas), cada coeficiente da \eta_{i} dentro da integral deve ser zero. Isso dá as equações diferenciais desejadas.
Passo 5
Escrevendo explicitamente a condição anterior obtemos, para cada i=1,2,3,
Estas são as equações de Euler–Lagrange no caso de três coordenadas generalizadas. Elas são três equações diferenciais de segunda ordem que determinam \;q_{1}(t),q_{2}(t),q_{3}(t).
Passo 6
Agora usemos a forma específica L=T-U. Como U não depende de \dot{q}_{i}, temos
Essa forma é muito útil na prática: o lado esquerdo contém os termos inerciais (derivados de T) e o lado direito são as forças generalizadas conservativas derivadas do potencial U.
Passo 7
Para você aplicar isso em prova (dica prática e amigável): calcule passo a passo as derivadas parciais necessárias.
Primeiro calcule \partial T/\partial \dot{q}_{i} (derivando T tratando q_{j} como constantes).
Depois calcule \dfrac{d}{dt}\big(\partial T/\partial \dot{q}_{i}\big) usando a regra da cadeia (pode gerar termos com \ddot{q}_{j} e termos com \dot{q}_{j}\dot{q}_{k} se T depende de q também).
Calcule \partial T/\partial q_{i} e \partial U/\partial q_{i} normalmente.
Substitua na equação \dfrac{d}{dt}\big(\partial T/\partial \dot{q}_{i}\big)-\partial T/\partial q_{i}+\partial U/\partial q_{i}=0.
Um exemplo rápido (comum): se