Questão 4
Considere uma partícula de massa m em um poço infinito de largura “a”
a. Supondo que a partícula esteja no estado fundamental, calcule a densidade de probabilidade como função de x. Faça um esboço do seu resultado.
b. Qual a probabilidade de encontrar a partícula na metade direita da caixa, ou seja, entre 0 e a / 2 ?
c. Qual a probabilidade de encontrá-la na metade central da caixa, entre -a / 4 e a / 4 ?
d. Repita os itens \mathrm{a}, \mathrm{b} e c , supondo agora que a partícula esteja no primeiro estado excitado.

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula de massa m confinada em um poço de potencial infinito de largura a, centrado na origem (ou seja, com paredes em x=-\tfrac{a}{2} e x=+\tfrac{a}{2}). Precisamos usar os autovalores e autofunções do hamiltoniano de partícula livre no poço e calcular densidades de probabilidade \rho(x)=|\psi(x)|^2 e integrais dessas densidades em certos intervalos para os dois primeiros estados (fundamental e primeiro excitado).

Passo 2

Para o estado fundamental n=1 a autofunção é a par (cosenoidal):
\psi_{1}(x) = \sqrt{\frac{2}{a}}\;\cos\!\biggl(\frac{\pi x}{a}\biggr), \quad -\tfrac{a}{2}\le x\le\tfrac{a}{2}.
A densidade de probabilidade é
\rho_{1}(x) = \bigl|\psi_{1}(x)\bigr|^2 = \frac{2}{a}\,\cos^2\!\biggl(\frac{\pi x}{a}\biggr).
O esboço mostra um máximo em x=0 e zeros em x=\pm\tfrac{a}{2}.

Passo 3

Para achar a probabilidade de encontrar a partícula entre x=0 e x=+\tfrac{a}{2} no estado fundamental, integramos
P_{1,\,\text{direita}} = \int_{0}^{a/2} \rho_{1}(x)\,dx = \frac{2}{a}\int_{0}^{a/2} \cos^2\!\biggl(\frac{\pi x}{a}\biggr)\,dx.
Usando \cos^2u = \tfrac12(1+\cos2u) e integrando, obtemos
P_{1,\,\text{direita}} = \frac{2}{a}\Bigl[\frac{x}{2} + \frac{a}{4\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{2\pi x}{a}\bigr)\Bigr]_0^{a/2} = \frac{2}{a}\cdot\frac{a}{4} = \frac12.

Passo 4

Para a probabilidade no intervalo central -\tfrac{a}{4}\le x\le+\tfrac{a}{4} no estado fundamental, fazemos
P_{1,\,\text{central}} = \int_{-a/4}^{a/4} \frac{2}{a}\cos^2\!\biggl(\frac{\pi x}{a}\biggr)\,dx.
Novamente usando \cos^2u e integrando, chega-se a
P_{1,\,\text{central}} = \frac{2}{a}\Bigl[\frac{x}{2} + \frac{a}{4\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{2\pi x}{a}\bigr)\Bigr]_{-a/4}^{a/4} = \frac12 + \frac{1}{\pi}.

Passo 5

No primeiro estado excitado n=2 a autofunção é ímpar (senoidal):
\psi_{2}(x) = \sqrt{\frac{2}{a}}\;\sin\!\biggl(\frac{2\pi x}{a}\biggr), \quad -\tfrac{a}{2}\le x\le\tfrac{a}{2},
e a densidade
\rho_{2}(x)=\frac{2}{a}\,\sin^2\!\biggl(\frac{2\pi x}{a}\biggr).

Passo 6

Probabilidade entre 0 e +\tfrac{a}{2} no estado excitado:
P_{2,\,\text{direita}} = \int_{0}^{a/2}\frac{2}{a}\sin^2\!\biggl(\frac{2\pi x}{a}\biggr)\,dx = \frac{2}{a}\cdot\frac{a}{2\pi}\int_{0}^{\pi}\sin^2u\,du = \frac{1}{\pi}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac12.

Passo 7

Probabilidade no intervalo central -\tfrac{a}{4}\le x\le+\tfrac{a}{4} no estado excitado:
P_{2,\,\text{central}} = \int_{-a/4}^{a/4}\frac{2}{a}\sin^2\!\biggl(\frac{2\pi x}{a}\biggr)\,dx = \frac{2}{a}\cdot\frac{a}{2\pi}\int_{-\,\pi/2}^{\pi/2}\sin^2u\,du = \frac{1}{\pi}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac12.

Resposta

a. No estado fundamental,
\rho_{1}(x)=\frac{2}{a}\cos^2\!\Bigl(\frac{\pi x}{a}\Bigr),
com pico em x=0 e zeros em x=\pm a/2.
b. P_{1,\text{direita}}=1/2. c. P_{1,\text{central}}=\tfrac12+\tfrac{1}{\pi}\approx0{,}8183. d. No primeiro excitado,
\rho_{2}(x)=\frac{2}{a}\sin^2\!\Bigl(\frac{2\pi x}{a}\Bigr).
b. P_{2,\text{direita}}=1/2.
c. P_{2,\text{central}}=1/2.

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