Calcular a força resultante que atua sobre uma carga de 1 \mu \mathrm{C}, colocada na posição (5,0) m, devido à seguinte distribuição de cargas:
  • Em (0,0) \mathrm{m}, uma carga Q_{1}=-3 \mu \mathrm{C};
  • Em (4,0) \mathrm{m}, uma carga Q_{2}=4 \mu \mathrm{C};
  • Em (1,0) \mathrm{m}, uma carga Q_{3}=-2 \mu \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede a força resultante que atua em uma carga de teste q=1\,\mu\mathrm{C} colocada em x=5{,}0,m, devido a três cargas pontuais sobre o eixo x:
Q_{1}=-3\,\mu\mathrm{C} em x=0
Q_{2}=4\,\mu\mathrm{C} em x=4{,}0
Q_{3}=-2\,\mu\mathrm{C} em x=1{,}0
O conteúdo central é a Lei de Coulomb e o princípio da superposição de forças.

Passo 2

Segundo a Lei de Coulomb, a força que uma carga Q exerce sobre uma carga q separada por distância r é
\vec F = k\,\frac{Q\,q}{r^{2}}\,\hat r,
onde k=8{,}99\times10^{9}\,\mathrm{N\,m^{2}/C^{2}} e \hat r é o versor que aponta de Q para q. Pelo princípio da superposição, a força total é
\vec F_{\text{res}} = \vec F_{1} + \vec F_{2} + \vec F_{3}.

Passo 3

Cálculo de \vec F_{1} devido a Q_{1}=-3\,\mu\mathrm{C}:
A distância entre Q_{1} e q é
r_{1} = 5{,}0 - 0 = 5{,}0\text{ m}.
Como Q_{1} é negativa e q positiva, há atração, isto é, força para a esquerda -\hat \imath. A magnitude é
F_{1} = k\,\frac{|Q_{1}|\,q}{r_{1}^{2}} = 8{,}99\times10^{9}\,\frac{3\times10^{-6}\times1\times10^{-6}}{5^{2}} \approx 1{,}08\times10^{-3}\,\mathrm{N}.
Logo
\vec F_{1} = -\,1{,}08\times10^{-3}\,\hat \imath\;\mathrm{N}.

Passo 4

Cálculo de \vec F_{2} devido a Q_{2}=4\,\mu\mathrm{C}:
A distância é
r_{2} = 5{,}0 - 4{,}0 = 1{,}0\text{ m}.
Como as cargas têm mesmo sinal, há repulsão, isto é, força para a direita +\hat \imath. A magnitude é
F_{2} = k\,\frac{Q_{2}\,q}{r_{2}^{2}} = 8{,}99\times10^{9}\,\frac{4\times10^{-6}\times1\times10^{-6}}{1^{2}} \approx 3,60\times10^{-2}\,\mathrm{N}.
Logo
\vec F_{2} = +\,3,60\times10^{-2}\,\hat \imath\;\mathrm{N}.

Passo 5

Cálculo de \vec F_{3} devido a Q_{3}=-2\,\mu\mathrm{C}:
A distância é
r_{3} = 5{,}0 - 1{,}0 = 4{,}0\text{ m}.
Como Q_{3} é negativa, há atração, força para a esquerda -\hat \imath. A magnitude é
F_{3} = k\,\frac{|Q_{3}|\,q}{r_{3}^{2}} = 8{,}99\times10^{9}\,\frac{2\times10^{-6}\times1\times10^{-6}}{4^{2}} \approx 1{,}12\times10^{-3}\,\mathrm{N}.
Logo
\vec F_{3} = -\,1{,}12\times10^{-3}\,\hat \imath\;\mathrm{N}.

Passo 6

Somando vetorialmente:
\vec F_{\text{res}} = \bigl(-1{,}08\times10^{-3} + 3,60\times10^{-2} - 1{,}12\times10^{-3}\bigr)\hat \imath = 3,38\times10^{-2}\,\hat \imath\;\mathrm{N}.

Resposta

\displaystyle \vec F_{\text{res}} = 3{,}38\times10^{-2}\,\mathrm{N}\,\hat \imath (para a direita).

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