Questão 4. Considere uma placa plana infinitamente fina de corda c=1 \mathrm{~m}, em um escoamento supersônico com ângulo de ataque \alpha=10^{\circ}. A distribuição de pressão p e da tensão cisalhande \tau são
Extradorso: p_{u}=40000(x-1)^{2}+54000 e \tau_{u}=288 x^{-0,2}
Intradorso: p_{l}=20000(x-1)^{2}+17300 e \tau_{u}=731 x^{-0,2}, onde x é a distância a partir do bordo de ataque em metros e p e \tau são dadas em Pa . Calcule as forças normal e axial, a sustentação e o arrasto, o momento em torno do bordo de ataque e o momento em torno do quarto de corda ( x=c / 4 ), todos por unidade de envergadura. Calcule o centro de pressão.

Passo 1

O enunciado dá uma placa infinitamente fina de corda c=1,m, inclinada num escoamento supersônico com ângulo de ataque \alpha=10^\circ. Sobre a superfície superior (extradorso) temos
p_u(x)=40000(x-1)^2+54000,\quad \tau_u(x)=288\,x^{-0,2},
e sobre a superfície inferior (intradorso)
p_l(x)=20000(x-1)^2+17300,\quad \tau_l(x)=731\,x^{-0,2},
com x\in[0,1] medido a partir do bordo de ataque. Precisamos achar, por unidade de envergadura, as forças normal e axial (referidas à linha de corda), depois a sustentação L e o arrasto D (referidos à direção do escoamento), bem como os momentos em torno do bordo de ataque e do quarto de corda e, por fim, o centro de pressão.

Passo 2

Primeiro calcule a diferença de pressão
\Delta p(x)=p_l(x)-p_u(x).
Expandindo (x-1)^2=x^2-2x+1, vem
p_u=40000x^2-80000x+94000, \quad p_l=20000x^2-40000x+37300,
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\Delta p(x)=-20000x^2 +40000x -56700.

Passo 3

A força normal N (perpendicular à corda) é dada pela integral da pressão líquida:
N=\int_{0}^{1}\Delta p(x)\,\mathrm{d}x =\int_{0}^{1}\bigl(-20000x^2+40000x-56700\bigr)\,\mathrm{d}x.
Calculando,
N =-20000\frac{x^3}{3}\Big|_0^1 +40000\frac{x^2}{2}\Big|_0^1 -56700\,x\Big|_0^1 =-\frac{20000}{3}+20000-56700 \approx-43366{,}7\\ \mathrm{N/m}.

Passo 4

A força axial A (paralela à corda) vem da soma dos cisalhamentos em ambas as faces:
A=\int_{0}^{1}\bigl[\tau_u(x)+\tau_l(x)\bigr]\,\mathrm{d}x =\int_{0}^{1}1019\,x^{-0,2}\,\mathrm{d}x.
Como \int_0^1 x^{-0,2}\mathrm{d}x=\tfrac{x^{0,8}}{0,8}\big|_0^1=1/0,8=1{,}25,
A=1019\times1{,}25=1273{,}75\\ \mathrm{N/m}.

Passo 5

Agora projetamos N e A nas direções de sustentação L (perpendicular ao escoamento) e arrasto D (paralelo ao escoamento), usando \alpha=10^\circ, \cos10^\circ\approx0{,}9848, \sin10^\circ\approx0{,}17365:
L=N\cos\alpha - A\sin\alpha \approx(-43366{,}7)(0{,}9848)-(1273{,}75)(0{,}17365) \approx -4{,}2930\times10^4\\ \mathrm{N/m},
D=N\sin\alpha + A\cos\alpha \approx(-43366{,}7)(0{,}17365)+(1273{,}75)(0{,}9848) \approx -6{,}275\times10^3\\ \mathrm{N/m}.

Passo 6

Momento em torno do bordo de ataque (LE) só da pressão:
M_{LE} =\int_{0}^{1}\Delta p(x)\,x\,\mathrm{d}x =\int_{0}^{1}\bigl(-20000x^2+40000x-56700\bigr)x\,\mathrm{d}x =\int_{0}^{1}\bigl(-20000x^3+40000x^2-56700x\bigr)\mathrm{d}x
=-20000\frac{x^4}{4}\Big|_0^1 +40000\frac{x^3}{3}\Big|_0^1 -56700\frac{x^2}{2}\Big|_0^1 =-5000+13333{,}33-28350 \approx-20016{,}7\\ \mathrm{N\cdot m/m}.
Momento em torno de x=c/4=0{,}25 m:
M_{c/4}=M_{LE}-N\!\cdot0{,}25 \approx -20016{,}7 -(-43366{,}7)(0{,}25) \approx -9175{,}0\\ \mathrm{N\cdot m/m}.

Passo 7

O centro de pressão x_{cp} (medido do bordo de ataque) satisfaz
x_{cp}=\frac{M_{LE}}{N} \approx\frac{-20016{,}7}{-43366{,}7}\approx0{,}4617\\ \mathrm{m}.

Resposta

N = -4{,}3367\times10^4 N/m
A = 1{,}2738\times10^3 N/m
L = -4{,}2930\times10^4 N/m
D = -6{,}275\times10^3 N/m M_{LE}=-2{,}0017\times10^4, N\cdot m/m M_{c/4}=-9{,}175\times10^3, N\cdot m/m x_{cp}=0{,}4617,m

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