Questāo 1. Considere o plano parametrizado por
\sigma(u, v)=(u ; v, 1-u-v), u \geq 0, v \geq 0 \text { e } u+v \leq 1
Calcule \iint_{\sigma} \vec{F} \cdot \vec{n} d S, em que
\vec{F}(x, y, z)=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície S parametrizada por
\sigma(u,v)=(u,\;v,\;1-u-v), \quad (u,v)\in D=\{(u,v)\mid u\ge0,\;v\ge0,\;u+v\le1\},
e pede o fluxo do campo \vec F(x,y,z)=(x,y,z) através de S.
O conteúdo é integral de superfície (fluxo) de campo vetorial, usando a fórmula
\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS =\iint_{D}\vec F\bigl(\sigma(u,v)\bigr)\cdot\bigl(\sigma_u\times\sigma_v\bigr)\,du\,dv.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais:
\sigma_u=(1,0,-1), \qquad \sigma_v=(0,1,-1).
O produto vetorial é
\sigma_u\times\sigma_v =\begin{vmatrix} \mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\\\ 1&0&-1\\\\ 0&1&-1 \end{vmatrix} =(1,1,1).

Passo 3

Avaliar o campo na parametrização e fazer o produto escalar:
\vec F\bigl(\sigma(u,v)\bigr)=(u,\;v,\;1-u-v),
\vec F\bigl(\sigma(u,v)\bigr)\cdot\bigl(\sigma_u\times\sigma_v\bigr) =u+v+(1-u-v)=1.

Passo 4

O fluxo fica
\iint_{D}1\,du\,dv.
Como D é o triângulo de vértices (0,0), (1,0), (0,1), sua área é \tfrac12. Logo
\iint_{D}1\,du\,dv=\frac12.

Resposta

\displaystyle \frac12

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