Questão 1 (5 pontos) Calcule a transformada de Fourier das funções:
g(x)=x f(x) e g(x)=x^{2} f(x).

Passo 1

O enunciado pede para usarmos a propriedade de diferenciação da transformada de Fourier: se
F(\omega)=\mathcal{F}\{f(x)\}=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}\,dx,
então queremos achar \mathcal{F}\{x\,f(x)\} e \mathcal{F}\{x^2\,f(x)\}.

Passo 2

Começamos lembrando a definição da transformada de Fourier e assumindo que f(x) e seus momentos decaiam rápido o suficiente para zerar termos de contorno:
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}\,dx.

Passo 3

Para \mathcal{F}\{x\,f(x)\} note que
\frac{\partial}{\partial\omega}\bigl(e^{-i\omega x}\bigr)=-i\,x\,e^{-i\omega x} \quad\Longrightarrow\quad x\,e^{-i\omega x}=i\,\frac{\partial}{\partial\omega}\bigl(e^{-i\omega x}\bigr).
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\mathcal{F}\{x\,f(x)\} =\int_{-\infty}^{\infty}x\,f(x)e^{-i\omega x}\,dx =i\,\frac{d}{d\omega}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}\,dx =i\,\frac{d}{d\omega}F(\omega).

Passo 4

Para \mathcal{F}\{x^2\,f(x)\} usamos duas derivações:
\frac{\partial^2}{\partial\omega^2}\bigl(e^{-i\omega x}\bigr) =(-i\,x)^2\,e^{-i\omega x}=-x^2\,e^{-i\omega x} \quad\Longrightarrow\quad x^2\,e^{-i\omega x}=-\frac{\partial^2}{\partial\omega^2}\bigl(e^{-i\omega x}\bigr).
Então
\mathcal{F}\{x^2\,f(x)\} =\int_{-\infty}^{\infty}x^2\,f(x)e^{-i\omega x}\,dx =-\frac{d^2}{d\omega^2}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}\,dx =-\frac{d^2}{d\omega^2}F(\omega).

Resposta

\displaystyle \mathcal{F}\{x\,f(x)\}=i\,\frac{d}{d\omega}F(\omega)
\displaystyle \mathcal{F}\{x^2\,f(x)\}=-\frac{d^2}{d\omega^2}F(\omega)

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