Questão 1 (5 pontos) 1. Calcule a transformada de Fourier das funções:
(a) f(x)=\chi_{\left[-\frac{a}{\pi}, \frac{a}{\pi}\right]} \cos (a x).
(b) g(x)=f(a x).
(c) g(x)=x f(x) e g(x)=x^{2} f(x).
b \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier
\mathcal{F}[h](\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}h(x)\,e^{-i\omega x}\,dx
para três casos:
(a) f(x)=\chi_{\bigl[-\tfrac{a}{\pi},\tfrac{a}{\pi}\bigr]}(x)\cos(ax).
(b) g(x)=f(ax).
(c) g(x)=x\,f(x) e g(x)=x^2\,f(x).
Vamos usar a definição acima, a representação \cos(ax)=\tfrac12(e^{iax}+e^{-iax}), a integral de exponencial e as propriedades de escala e derivação da transformada.

Passo 2

Para (a), note que f(x) é não nula só em
-L\le x\le L,\quad L=\frac{a}{\pi}.
Logo
\mathcal{F}[f](\omega) =\int_{-L}^{L}\cos(ax)\,e^{-i\omega x}\,dx =\frac12\int_{-L}^{L}e^{i(a-\omega)x}dx +\frac12\int_{-L}^{L}e^{-i(a+\omega)x}dx.

Passo 3

Usamos
\int_{-L}^{L}e^{i\alpha x}dx =\frac{e^{i\alpha L}-e^{-i\alpha L}}{i\alpha} =\frac{2\sin(\alpha L)}{\alpha}.
Assim o primeiro termo dá
\tfrac12\cdot\frac{2\sin((a-\omega)L)}{a-\omega}=\frac{\sin((a-\omega)L)}{a-\omega}
e o segundo dá
\frac{\sin(-(a+\omega)L)}{-(a+\omega)}=\frac{\sin((a+\omega)L)}{a+\omega}.

Passo 4

Logo, definindo L=a/\pi,
\boxed{ \mathcal{F}[f](\omega) =\frac{\sin\bigl((a-\omega)\tfrac{a}{\pi}\bigr)}{a-\omega} +\frac{\sin\bigl((a+\omega)\tfrac{a}{\pi}\bigr)}{a+\omega}. }

Passo 5

Para (b), a propriedade de escala é
\mathcal{F}[f(ax)](\omega) =\frac1{|a|}\;F\!\bigl(\tfrac{\omega}{a}\bigr),
onde F(\omega)=\mathcal{F}[f](\omega) do item (a).

Passo 6

Para (c), a propriedade de derivação em frequência diz
\mathcal{F}[x\,f(x)](\omega) =i\,\frac{d}{d\omega}F(\omega), \quad \mathcal{F}[x^2\,f(x)](\omega) =-\frac{d^2}{d\omega^2}F(\omega).

Resposta

(a) \displaystyle \mathcal{F}[f](\omega) = \frac{\sin\bigl((a-\omega)\tfrac{a}{\pi}\bigr)}{a-\omega} + \frac{\sin\bigl((a+\omega)\tfrac{a}{\pi}\bigr)}{a+\omega}.\n(b) \displaystyle \mathcal{F}[f(ax)](\omega) = \frac1{|a|}\;\Bigl[\frac{\sin\bigl((a-\tfrac{\omega}{a})\tfrac{a}{\pi}\bigr)}{a-\tfrac{\omega}{a}} + \frac{\sin\bigl((a+\tfrac{\omega}{a})\tfrac{a}{\pi}\bigr)}{a+\tfrac{\omega}{a}}\Bigr].\n(c) \displaystyle \mathcal{F}[x\,f(x)](\omega) = i\,\frac{d}{d\omega}\mathcal{F}[f](\omega), \quad \mathcal{F}[x^2\,f(x)](\omega) = -\frac{d^2}{d\omega^2}\mathcal{F}[f](\omega).

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