(a) Determine as equações vetoriais das retas r_{1}=\pi_{1} \cap \pi_{2}, r_{2}=\pi_{1} \cap \pi_{3} e r_{3}=\pi_{2} \cap \pi_{3}
(b) Determine os vértices da pirâmide definida pelos 4 planos e calcule a altura relativa ao plano \pi_{3}.
(c) Descreva como obter a rotação \frac{\pi}{4} da pirâmide em torno do eixo x.
(d) Calcule o ângulo entre \pi_{1} e \pi_{3}.
e pede:
– (a) equações vetoriais das retas de interseção r_{1}=\pi_{1}\cap\pi_{2}, r_{2}=\pi_{1}\cap\pi_{3}, r_{3}=\pi_{2}\cap\pi_{3};
– (b) vértices da pirâmide limitada por esses planos e altura relativa a \pi_{3};
– (c) como realizar rotação de \pi/4 da pirâmide em torno do eixo x;
– (d) ângulo entre \pi_{1} e \pi_{3}.
Da primeira x=y-1\], da segunda \(z=3-y. Ponha y=t. Então
(x,y,z)=(t-1,t,3-t)=(2,3,0)+t(-1,-1,1),
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r_{3}:\;(x,y,z)=(2,3,0)+t(-1,-1,1).
Passo 5
Encontrar os quatro vértices (interseção de três planos):
P_{123}=\pi_{1}\cap\pi_{2}\cap\pi_{3}: ponto de r_{1} com \pi_{3}. Em r_{1}:(1,2,t) impõe-se 2+t-3=0\implies t=1.P_{123}=(1,2,1).
P_{124}=\pi_{1}\cap\pi_{2}\cap\pi_{4}: em r_{1}:(1,2,t) impõe-se t-4=0\implies t=4.P_{124}=(1,2,4).
P_{134}=\pi_{1}\cap\pi_{3}\cap\pi_{4}: em r_{2}:(3-t,t,3-t) impõe-se 3-t-4=0\implies t=-1.P_{134}=(4,-1,4).
P_{234}=\pi_{2}\cap\pi_{3}\cap\pi_{4}: em r_{3}:(2-t,3-t,t) impõe-se t-4=0\implies t=4.P_{234}=(-2,-1,4).
Passo 6
Calcular a altura relativa ao plano \pi_{3}:y+z-3=0.
A face base é o triângulo P_{123}P_{134}P_{234} contido em \pi_{3}. O vértice oposto é P_{124}=(1,2,4).
A distância de P_{124} a \pi_{3} vale