Questão 1 Considere os planos
\begin{array}{ll} \pi_{1}: x+y-3=0 & \pi_{2}: x-y+1=0 \\\ \pi_{3}: y+z-3=0 & \pi_{4}: z-4=0 \end{array}
(a) Determine as equações vetoriais das retas r_{1}=\pi_{1} \cap \pi_{2}, r_{2}=\pi_{1} \cap \pi_{3} e r_{3}=\pi_{2} \cap \pi_{3}
(b) Determine os vértices da pirâmide definida pelos 4 planos e calcule a altura relativa ao plano \pi_{3}.
(c) Descreva como obter a rotação \frac{\pi}{4} da pirâmide em torno do eixo x.
(d) Calcule o ângulo entre \pi_{1} e \pi_{3}.

Passo 1

O enunciado dá quatro planos
\pi_{1}:x+y-3=0,\quad \pi_{2}:x-y+1=0,\quad \pi_{3}:y+z-3=0,\quad \pi_{4}:z-4=0
e pede:
– (a) equações vetoriais das retas de interseção r_{1}=\pi_{1}\cap\pi_{2}, r_{2}=\pi_{1}\cap\pi_{3}, r_{3}=\pi_{2}\cap\pi_{3};
– (b) vértices da pirâmide limitada por esses planos e altura relativa a \pi_{3};
– (c) como realizar rotação de \pi/4 da pirâmide em torno do eixo x;
– (d) ângulo entre \pi_{1} e \pi_{3}.

Passo 2

Determinar r_{1}=\pi_{1}\cap\pi_{2}\): Resolver \[\begin{cases} x+y-3=0,\\\ x-y+1=0. \end{cases}
Da segunda vem y=x+1\]. Substituindo na primeira: \[x+(x+1)-3=0\implies 2x-2=0\implies x=1,\quad y=2.\] \(z é livre, ponha z=t. Logo
r_{1}:\;(x,y,z)=(1,2,0)+t\,(0,0,1).

Passo 3

Determinar r_{2}=\pi_{1}\cap\pi_{3}\): Resolver \[\begin{cases} x+y-3=0,\\\ y+z-3=0. \end{cases}
Da primeira x=3-y\], da segunda \(z=3-y. Ponha y=t. Então
(x,y,z)=(3-t,t,3-t)=(3,0,3)+t(-1,1,-1),
isto é
r_{2}:\;(x,y,z)=(3,0,3)+t(-1,1,-1).

Passo 4

Determinar r_{3}=\pi_{2}\cap\pi_{3}\): Resolver \[\begin{cases} x-y+1=0,\\\ y+z-3=0. \end{cases}
Da primeira x=y-1\], da segunda \(z=3-y. Ponha y=t. Então
(x,y,z)=(t-1,t,3-t)=(2,3,0)+t(-1,-1,1),
logo
r_{3}:\;(x,y,z)=(2,3,0)+t(-1,-1,1).

Passo 5

Encontrar os quatro vértices (interseção de três planos):
  1. P_{123}=\pi_{1}\cap\pi_{2}\cap\pi_{3}: ponto de r_{1} com \pi_{3}. Em r_{1}:(1,2,t) impõe-se 2+t-3=0\implies t=1. P_{123}=(1,2,1).
  2. P_{124}=\pi_{1}\cap\pi_{2}\cap\pi_{4}: em r_{1}:(1,2,t) impõe-se t-4=0\implies t=4. P_{124}=(1,2,4).
  3. P_{134}=\pi_{1}\cap\pi_{3}\cap\pi_{4}: em r_{2}:(3-t,t,3-t) impõe-se 3-t-4=0\implies t=-1. P_{134}=(4,-1,4).
  4. P_{234}=\pi_{2}\cap\pi_{3}\cap\pi_{4}: em r_{3}:(2-t,3-t,t) impõe-se t-4=0\implies t=4. P_{234}=(-2,-1,4).

Passo 6

Calcular a altura relativa ao plano \pi_{3}:y+z-3=0.
A face base é o triângulo P_{123}P_{134}P_{234} contido em \pi_{3}. O vértice oposto é P_{124}=(1,2,4).
A distância de P_{124} a \pi_{3} vale
\frac{\bigl|2+4-3\bigr|}{\sqrt{1^2+1^2}} =\frac{3}{\sqrt{2}}.

Passo 7

Descrever rotação de \pi/4 em torno do eixo x.
Basta aplicar a matriz de rotação em torno de x
R_x\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & \cos\frac{\pi}{4} & -\sin\frac{\pi}{4}\\\\ 0 & \sin\frac{\pi}{4} & \cos\frac{\pi}{4} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & \tfrac{\sqrt2}{2} & -\tfrac{\sqrt2}{2}\\\\ 0 & \tfrac{\sqrt2}{2} & \tfrac{\sqrt2}{2} \end{pmatrix},
multiplicando cada vetor posição dos vértices por R_x(\pi/4).

Passo 8

Calcular o ângulo \theta entre \pi_{1} e \pi_{3}.
Normais: \mathbf{n}_1=(1,1,0), \mathbf{n}_3=(0,1,1).
\cos\theta =\frac{\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_3}{\|\mathbf{n}_1\|\|\mathbf{n}_3\|} =\frac{1}{\sqrt{2}\,\sqrt{2}} =\tfrac12 \;\Longrightarrow\; \theta=60^\circ.

Resposta

(a)
r_{1}:(x,y,z)=(1,2,0)+t\,(0,0,1), \quad r_{2}:(x,y,z)=(3,0,3)+t(-1,1,-1), \quad r_{3}:(x,y,z)=(2,3,0)+t(-1,-1,1).
(b)
Vértices
P_{123}=(1,2,1),\; P_{124}=(1,2,4),\; P_{134}=(4,-1,4),\; P_{234}=(-2,-1,4),
altura relativa a \pi_{3}: \displaystyle \tfrac{3}{\sqrt2}.
(c)
Multiplicar cada vértice pela matriz
R_x\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & \tfrac{\sqrt2}{2} & -\tfrac{\sqrt2}{2}\\\\ 0 & \tfrac{\sqrt2}{2} & \tfrac{\sqrt2}{2} \end{pmatrix}.
(d)
Ângulo entre \pi_{1} e \pi_{3}: 60^\circ.

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