Questão 4 (a) Descreva um procedimento para encontrar os vértices de uma pirâmide com:
  • base triangular sobre o plano z=3,
  • de volume 3 ,
  • um dos vértices sendo o ponto ( 2,1,3 ),
  • uma das arestas com ângulo de \frac{\pi}{3} com a base.
    (b) Execute o procedimento descrito.
    (c) Escolha 3 retas, não coplanares, definidas pelas arestas da pirâmide encontrada no item anterior e calcule a distância entre as retas e o eixo x.

Passo 1

O enunciado pede uma pirâmide de base triangular no plano z=3, volume 3, com um vértice dado em A=(2,1,3) e uma aresta inclinada de ângulo \pi/3 em relação ao plano da base. Vamos precisar da definição de volume de pirâmide
V=\frac{1}{3}\,(\text{área da base})\cdot(\text{altura}),á
da condição de inclinação de uma reta em relação a um plano e da fórmula da distância entre retas.

Passo 2

Para simplificar, escolhemos dois vértices da base como
B=(2+u,\,1,\,3),\quad C=(2,\,1+v,\,3),
de modo que o triângulo ABC tenha área
\text{área}_\text{base}=\frac{1}{2}\,\bigl\lVert (B-A)\times(C-A)\bigr\rVert =\frac{1}{2}\,\bigl\lVert (u,0,0)\times(0,v,0)\bigr\rVert =\frac{u\,v}{2}.á

Passo 3

Denotemos o vértice apical por P=(2,\,1+k,\,3+h). A aresta AP tem vetor diretor
\bigl(P-A\bigr)=(0,\,k,\,h). A inclinação de AP em relação ao plano z=3 ser \pi/3 implica que o ângulo \theta entre AP e a normal (0,0,1) satisfaça
\theta=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6},
logo
\cos\theta =\frac{|(0,k,h)\cdot(0,0,1)|}{\sqrt{k^2+h^2}\,\cdot1} =\frac{h}{\sqrt{k^2+h^2}} =\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) =\frac{\sqrt{3}}{2}.
Dessa igualdade segue
h^2=\tfrac{3}{4}\,(k^2+h^2) \quad\Longrightarrow\quad h^2=3\,k^2 \quad\Longrightarrow\quad h=\sqrt{3}\,k\quad(k>0).

Passo 4

A altura da pirâmide em relação à base é h. Como o volume deve ser 3, temos
3 =\frac{1}{3}\,\frac{u\,v}{2}\,h \quad\Longrightarrow\quad u\,v\,h=18.
Substituindo h=\sqrt{3}\,k obtém-se
u\,v= \frac{18}{h} = \frac{18}{\sqrt{3}\,k} = \frac{18}{\sqrt{3}\,k} = \frac{18}{\sqrt{3}\,k} = \frac{6\sqrt{3}}{k}.

Passo 5

Para escolher valores simples, fixamos k=1, então h=\sqrt{3} e
u\,v=6\sqrt{3}.
Tomamos, por exemplo, u=\sqrt{3} e v=6. Assim
B=(2+\sqrt{3},\,1,\,3),\quad C=(2,\,7,\,3),\quad P=(2,\,2,\,3+\sqrt{3}).

Passo 6

Conferindo rapidamente:
  1. A inclinação de AP tem vetor (0,1,\sqrt3), e
    \frac{\sqrt3}{\sqrt{1+3}}=\frac{\sqrt3}{2}\Rightarrow ângulo \pi/3.
  2. Área da base =\frac{u\,v}{2}=\frac{\sqrt3\cdot6}{2}=3\sqrt3.
    Altura =\sqrt3.
    Volume =\tfrac13\cdot3\sqrt3\cdot\sqrt3=3.
Portanto os vértices da pirâmide são
A=(2,1,3),\; B=(2+\sqrt{3},1,3),\; C=(2,7,3),\; P=(2,2,3+\sqrt{3}).

Passo 7

Escolhemos as retas AB, AC e AP. O eixo x é a reta \ell_x com ponto Q_0=(0,0,0) e direção d_x=(1,0,0). Para qualquer reta com ponto P_0 e direção d, a distância a \ell_x é
d(\text{reta},\ell_x) =\frac{\bigl\lvert (P_0-Q_0)\cdot\bigl(d\times d_x\bigr)\bigr\rvert} {\lVert d\times d_x\rVert}.

Passo 8

Reta AB: direção d_{AB}=B-A=(\sqrt3,0,0), paralela ao eixo x. Ela está no plano y=1,z=3, logo a distância é simplesmente
\sqrt{1^2+3^2} =\sqrt{10}.

Passo 9

Reta AC: direção d_{AC}=C-A=(0,6,0). Calculamos
d_{AC}\times d_x=(0,6,0)\times(1,0,0)=(0,0,-6),
\lVert d_{AC}\times d_x\rVert=6, e P_0-A=(2,1,3). Logo
d(AC,\ell_x) =\frac{\bigl\lvert (2,1,3)\cdot(0,0,-6)\bigr\rvert}{6} =\frac{|{-}18|}{6}=3.

Passo 10

Reta AP: direção d_{AP}=P-A=(0,1,\sqrt3).
d_{AP}\times d_x =(0,1,\sqrt3)\times(1,0,0) =(0\cdot0-\sqrt3\cdot0,\;\sqrt3\cdot1-0\cdot0,\;0\cdot0-1\cdot1) =(0,\sqrt3,-1),
\lVert d_{AP}\times d_x\rVert=\sqrt{3+1}=2, e P_0-A=(2,1,3).
d(AP,\ell_x) =\frac{\bigl\lvert (2,1,3)\cdot(0,\sqrt3,-1)\bigr\rvert}{2} =\frac{|\,\sqrt3-3\,|}{2} =\frac{3-\sqrt3}{2}.

Resposta

Vértices da pirâmide:
A=(2,1,3),\; B=(2+\sqrt{3},1,3),\; C=(2,7,3),\; P=(2,2,3+\sqrt{3}).
Distâncias ao eixo x:
d(AB,\ell_x)=\sqrt{10},\quad d(AC,\ell_x)=3,\quad d(AP,\ell_x)=\frac{3-\sqrt{3}}{2}.

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