Questão 4 (a) Descreva um procedimento para encontrar os vértices de uma pirâmide com:
base triangular sobre o plano z=3,
de volume 3 ,
um dos vértices sendo o ponto ( 2,1,3 ),
uma das arestas com ângulo de \frac{\pi}{3} com a base.
(b) Execute o procedimento descrito.
(c) Escolha 3 retas, não coplanares, definidas pelas arestas da pirâmide encontrada no item anterior e calcule a distância entre as retas e o eixo x.
Passo 1
O enunciado pede uma pirâmide de base triangular no plano z=3, volume 3, com um vértice dado em A=(2,1,3) e uma aresta inclinada de ângulo \pi/3 em relação ao plano da base. Vamos precisar da definição de volume de pirâmide
V=\frac{1}{3}\,(\text{área da base})\cdot(\text{altura}),
da condição de inclinação de uma reta em relação a um plano e da fórmula da distância entre retas.
Passo 2
Para simplificar, escolhemos dois vértices da base como
Denotemos o vértice apical por P=(2,\,1+k,\,3+h). A aresta AP tem vetor diretor \bigl(P-A\bigr)=(0,\,k,\,h). A inclinação de AP em relação ao plano z=3 ser \pi/3 implica que o ângulo \theta entre AP e a normal (0,0,1) satisfaça
Escolhemos as retas AB, AC e AP. O eixo x é a reta \ell_x com ponto Q_0=(0,0,0) e direção d_x=(1,0,0). Para qualquer reta com ponto P_0 e direção d, a distância a \ell_x é