Questão 2 Considere uma elipse em
com as seguintes características:
- contida no plano
- de centro
- eixo maior de tamanho 10 e contido na reta
- semieixo menor medindo 3
(a) Determine a equação do elipsoide definido pela rotação da elipse em torno do eixo maior
(b) Determine a equação do elipsoide definido pela rotação da elipse em torno do eixo menor
(a) Determine a equação do elipsoide definido pela rotação da elipse em torno do eixo maior
(b) Determine a equação do elipsoide definido pela rotação da elipse em torno do eixo menor
Passo 1
O enunciado dá uma elipse em
que está no plano
, com centro em
, semieixo maior de tamanho
(já que o eixo maior tem comprimento
) apontando na direção do vetor
, e semieixo menor de tamanho
. O objetivo é obter a equação dessa elipse em coordenadas cartesianas e depois formar dois elipsoides de revolução: um girando-a em torno do eixo maior e outro girando-a em torno do eixo menor.
Passo 2
Como a elipse está toda no plano
e seu eixo maior é paralelo ao eixo
, podemos alinhar coordenadas de forma que:
- direção do semieixo maior seja o eixo
; - direção do semieixo menor seja o eixo
; - o plano seja
.
Nessas coordenadas, a elipse tem equação
Passo 3
Para girar essa elipse em torno do semieixo maior (eixo paralelo a
passando por
), todo ponto
gera um círculo de revolução no plano perpendicular a
. A distância radial ao eixo de revolução é
Substituindo
por
na equação da elipse, obtemos o elipsoide de revolução em torno do eixo maior:
Passo 4
Para girar a elipse em torno do semieixo menor (eixo paralelo a
passando por
), todo ponto
gera um círculo de revolução no plano perpendicular a
. A distância radial ao eixo de revolução é
Substituindo
por
na equação da elipse, obtemos o elipsoide de revolução em torno do eixo menor:
Resposta
(a)
(b)