Questão 2 Considere uma elipse em \mathbb{R}^{3} com as seguintes características:
  • contida no plano z=4
  • de centro (0,0,4)
  • eixo maior de tamanho 10 e contido na reta (x, y, z)=(0,1,4)+\lambda(0,2,0)
  • semieixo menor medindo 3
    (a) Determine a equação do elipsoide definido pela rotação da elipse em torno do eixo maior
    (b) Determine a equação do elipsoide definido pela rotação da elipse em torno do eixo menor

Passo 1

O enunciado dá uma elipse em \mathbb{R}^{3} que está no plano z=4, com centro em (0,0,4), semieixo maior de tamanho 5 (já que o eixo maior tem comprimento 10) apontando na direção do vetor (0,2,0), e semieixo menor de tamanho 3. O objetivo é obter a equação dessa elipse em coordenadas cartesianas e depois formar dois elipsoides de revolução: um girando-a em torno do eixo maior e outro girando-a em torno do eixo menor.

Passo 2

Como a elipse está toda no plano z=4 e seu eixo maior é paralelo ao eixo y, podemos alinhar coordenadas de forma que:
  • direção do semieixo maior seja o eixo y;
  • direção do semieixo menor seja o eixo x;
  • o plano seja z=4.
    Nessas coordenadas, a elipse tem equação
\frac{x^{2}}{3^{2}}+\frac{y^{2}}{5^{2}}=1 \quad\text{com}\quad z=4.

Passo 3

Para girar essa elipse em torno do semieixo maior (eixo paralelo a y passando por (0,0,4)), todo ponto (x,y,4) gera um círculo de revolução no plano perpendicular a y. A distância radial ao eixo de revolução é
\sqrt{x^{2}+(z-4)^{2}}.
Substituindo x^{2} por x^{2}+(z-4)^{2} na equação da elipse, obtemos o elipsoide de revolução em torno do eixo maior:
\frac{x^{2}+(z-4)^{2}}{3^{2}}+\frac{y^{2}}{5^{2}}=1.

Passo 4

Para girar a elipse em torno do semieixo menor (eixo paralelo a x passando por (0,0,4)), todo ponto (x,y,4) gera um círculo de revolução no plano perpendicular a x. A distância radial ao eixo de revolução é
\sqrt{y^{2}+(z-4)^{2}}.
Substituindo y^{2} por y^{2}+(z-4)^{2} na equação da elipse, obtemos o elipsoide de revolução em torno do eixo menor:
\frac{x^{2}}{3^{2}}+\frac{y^{2}+(z-4)^{2}}{5^{2}}=1.

Resposta

(a)
\frac{x^{2}+(z-4)^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}=1.
(b)
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}+(z-4)^{2}}{25}=1.

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