Questão 5: Considere os vetores \vec{u}=(1,-3,4) e \vec{v}=(-2,5,-6). Determine um vetor \vec{w} que seja ortogonal a \vec{u} e a \vec{v} e um outro vetor \vec{w} que seja ortogonal a \vec{u} e a \vec{v} e que tenha norma igual a 2 .

Passo 1

O enunciado pede dois vetores \vec w que sejam ambos ortogonais aos vetores \vec u=(1,-3,4) e \vec v=(-2,5,-6). O conteúdo principal aqui é o produto vetorial em \mathbb R^3, pois ele gera um vetor ortogonal aos dois vetores dados. Depois, usaremos a norma desse vetor para escalar até que sua norma valha 2.

Passo 2

Pela definição, o produto vetorial \vec u\times\vec v é dado pelo determinante
\vec u\times\vec v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & -3 & 4 \\\\ -2 & 5 & -6 \end{vmatrix}
Expandindo pelas componentes:
\vec u\times\vec v = \mathbf{i}\,((-3)(-6)-4\cdot5) - \mathbf{j}\,(1\cdot(-6)-4\cdot(-2)) + \mathbf{k}\,(1\cdot5 - (-3)(-2)).

Passo 3

Calculando cada termo:
(-3)(-6)-4\cdot5 = 18 - 20 = -2,
1\cdot(-6)-4\cdot(-2) = -6 +8 = 2,
1\cdot5 - (-3)(-2) = 5 - 6 = -1.
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\vec w = \vec u\times\vec v = (-2,\,-2,\,-1).
Por construção, \vec w\cdot\vec u = 0 e \vec w\cdot\vec v = 0, então \vec w é ortogonal a \vec u e \vec v.

Passo 4

Agora damos nome a \vec w e calculamos sua norma:
\|\vec w\| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3.

Passo 5

Para obter um vetor ortogonal com norma 2, basta escalar \vec w pelo fator \tfrac{2}{\|\vec w\|} = \tfrac{2}{3}. Definimos
\vec w' = \frac{2}{3}\,\vec w = \frac{2}{3}(-2,\,-2,\,-1) = \bigl(-\tfrac{4}{3},\,-\tfrac{4}{3},\,-\tfrac{2}{3}\bigr).
Por construção \|\vec w'\|=2 e \vec w' continua ortogonal a \vec u e \vec v.

Resposta

Um exemplo de vetor ortogonal a \vec u e \vec v é \displaystyle \vec w = (-2,-2,-1).
Um exemplo de vetor ortogonal a \vec u e \vec v com norma igual a 2 é \displaystyle \vec w' = \bigl(-\tfrac{4}{3},-\tfrac{4}{3},-\tfrac{2}{3}\bigr).

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