Questão 5: Considere os vetores \vec{u}=(1,-3,4) e \vec{v}=(-2,5,-6). Determine um vetor \vec{w} que seja ortogonal a \vec{u} e a \vec{v} e um outro vetor \vec{w} que seja ortogonal a \vec{u} e a \vec{v} e que tenha norma igual a 2 .
Passo 1
O enunciado pede dois vetores \vec w que sejam ambos ortogonais aos vetores \vec u=(1,-3,4) e \vec v=(-2,5,-6). O conteúdo principal aqui é o produto vetorial em \mathbb R^3, pois ele gera um vetor ortogonal aos dois vetores dados. Depois, usaremos a norma desse vetor para escalar até que sua norma valha 2.
Passo 2
Pela definição, o produto vetorial \vec u\times\vec v é dado pelo determinante
Para obter um vetor ortogonal com norma 2, basta escalar \vec w pelo fator \tfrac{2}{\|\vec w\|} = \tfrac{2}{3}. Definimos
\vec w' = \frac{2}{3}\,\vec w = \frac{2}{3}(-2,\,-2,\,-1) = \bigl(-\tfrac{4}{3},\,-\tfrac{4}{3},\,-\tfrac{2}{3}\bigr).
Por construção \|\vec w'\|=2 e \vec w' continua ortogonal a \vec u e \vec v.
Resposta
Um exemplo de vetor ortogonal a \vec u e \vec v é \displaystyle \vec w = (-2,-2,-1).
Um exemplo de vetor ortogonal a \vec u e \vec v com norma igual a 2 é \displaystyle \vec w' = \bigl(-\tfrac{4}{3},-\tfrac{4}{3},-\tfrac{2}{3}\bigr).