Questão 4: Sabendo que \vec{u} e \vec{v} são vetores \operatorname{com} \vec{u} \cdot \vec{v}=6,\|\vec{v}\|=3 \sqrt{2} e que o ângulo entre \vec{u} e \vec{v} é \frac{\pi}{4} radianos, determine \|\vec{u}\| e \|\overrightarrow{u+v}\|. Para o último pedido, procure lembrar quem é a norma ao quadrado de um vetor, em função do produto interno.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores \vec{u} e \vec{v} tais que \vec{u}\cdot\vec{v}=6, \|\vec{v}\|=3\sqrt{2} e o ângulo entre eles é \pi/4.
Precisamos usar a fórmula do produto interno
\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta
para encontrar \|\vec{u}\|, e depois a identidade
\|\vec{u}+\vec{v}\|^2=\|\vec{u}\|^2+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^2
para obter \|\vec{u}+\vec{v}\|.

Passo 2

Usando
\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\Bigl(\tfrac{\pi}{4}\Bigr)
substituímos os valores conhecidos:
6=\|\vec{u}\|\times\bigl(3\sqrt{2}\bigr)\times\frac{\sqrt{2}}{2} =\|\vec{u}\|\times3\,.
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\|\vec{u}\|=2.

Passo 3

Para \|\vec{u}+\vec{v}\| usamos
\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 =\|\vec{u}\|^2+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^2 =2^2+2\cdot6+(3\sqrt{2})^2 =4+12+18 =34.
Portanto
\|\vec{u}+\vec{v}\|=\sqrt{34}.

Resposta

\|\vec{u}\|=2 \|\vec{u}+\vec{v}\|=\sqrt{34}

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