1. ( 5 a Questão - 1,0 ponto)
    Determine o trabalho re
Determine o trabalho realizado pelo campo de força \vec{F}(x, y)=\left(1-y \cdot e^{-x}\right) \vec{i}+e^{-x} \vec{j} ao mover uma partícula do ponto P=(0,1) a Q=(1,2).

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pelo campo de força \vec{F}(x,y)=\bigl(1 - y\,e^{-x}\bigr)\,\mathbf{i} + e^{-x}\,\mathbf{j} ao deslocar uma partícula de P=(0,1) a Q=(1,2). O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial; como veremos, \vec{F} é conservativo, e podemos usar uma função potencial \varphi(x,y) para calcular o trabalho de forma simples.

Passo 2

Verificamos se \vec{F} é conservativo conferindo
P(x,y)=1 - y\,e^{-x}, \quad Q(x,y)=e^{-x}
e calculando as derivadas parciais
\frac{\partial P}{\partial y} = -e^{-x}, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = -e^{-x}.
Como \partial P/\partial y = \partial Q/\partial x, o campo é conservativo em todo \mathbb{R}^2.

Passo 3

Buscamos \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = 1 - y\,e^{-x}, \quad \frac{\partial \varphi}{\partial y} = e^{-x}.
Integrando a primeira condição em relação a x,
\varphi(x,y) = \int \bigl(1 - y\,e^{-x}\bigr)\,dx = x + y\,e^{-x} + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), usamos \partial \varphi/\partial y = e^{-x}. Calculando
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = e^{-x} + h'(y)
e igualando a Q(x,y)=e^{-x}, obtemos h'(y)=0. Logo, podemos escolher h(y)= constante, desprezível no trabalho. Assim,
\varphi(x,y) = x + y\,e^{-x}.

Passo 5

O trabalho W é a diferença de potencial entre Q e P:
W = \varphi\bigl(1,2\bigr) - \varphi\bigl(0,1\bigr) = \bigl(1 + 2\,e^{-1}\bigr) - \bigl(0 + 1\cdot e^{0}\bigr) = 1 + \frac{2}{e} - 1 = \frac{2}{e}.

Resposta

W = \frac{2}{e}.

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