11- Achar a solução de
\frac{d y}{d x}=\frac{1}{e^{y}-x}, \quad y(1)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
\frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y} - x},
com condição inicial y(1)=0. O truque é inverter a derivada para obter uma equação linear em x como função de y, e então usar fator integrante.

Passo 2

Invertendo a derivada temos
\frac{d x}{d y} = e^{y} - x,
ou seja,
\frac{d x}{d y} + x = e^{y},
que é uma equação linear em x(y).

Passo 3

O fator integrante é
\mu(y) = e^{\int 1\,dy} = e^{y}.
Multiplicando a equação por \mu(y) resulta em
e^{y}\frac{d x}{d y} + e^{y}x = e^{y}e^{y} = e^{2y},
isto é,
\frac{d}{d y}\bigl(e^{y}x\bigr) = e^{2y}.
Integrando em y,
e^{y}x = \int e^{2y}\,dy = \frac{1}{2}e^{2y} + C.
Logo
x = \frac{1}{2}e^{y} + C\,e^{-y}.

Passo 4

Para determinar C usamos y(1)=0. Quando y=0 deve ocorrer x=1, então
1 = \frac{1}{2}e^{0} + C\,e^{0} = \frac12 + C \quad\Longrightarrow\quad C = \frac12.
Assim
x = \frac{1}{2}e^{y} + \frac{1}{2}e^{-y} = \operatorname{cosh}(y).

Passo 5

Invertendo x=\operatorname{cosh}(y) para obter y em função de x, temos
y = \arccosh(x),
ou, em forma logarítmica,
y(x) = \ln\!\bigl(x + \sqrt{x^{2}-1}\bigr),
válido para x\ge1 e satisfazendo y(1)=0.

Resposta

y(x) = \arccosh(x) = \ln\!\bigl(x + \sqrt{x^{2}-1}\bigr).

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