QUESTÃO 2 - Considere o problema de Dirichlet no retângulo:
lll ux x(x, y)+uy y(x, y)=0, & & 0<x<a, 0<y<b u(0, y)=h(y), & u(a, y)=0, & 0 <= y <= b u(x, 0)=0, & u(x, b)=0, & 0<x<a
(a) Encontre uma solução geral deste problema.
(b) Encontre a solução no caso em que a=b=2 e
h(y)= -1, & se 0 <= y <= 1 1, & se 1 <= y <= 2

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de Dirichlet para a equação de Laplace
uxx+uyy=0, 0<x<a,;0<y<b
com contornos
u(0,y)=h(y),;u(a,y)=0,;0<= y<= b,
u(x,0)=0,;u(x,b)=0,;0<x<a
O conteúdo principal é usar separação de variáveis e expansão em série de senos.

Passo 2

Assumimos u(x,y)=X(x),Y(y). Substituindo em uxx+uyy=0 e dividindo por XY
X''(x)X(x) + Y''(y)Y(y)=0 Longrightarrow X''(x)X(x)=-Y''(y)Y(y)=lambda^2
Pelas condições Y(0)=Y(b)=0 surge o problema de autovalores
Y''+lambda^2Y=0, Y(0)=Y(b)=0,
cujas soluções são
lambdan=npib, Yn(y)=sin!l(npibyr), n=1,2,dots

Passo 3

Para cada lambdan, Xn satisfaz
X''-lambdan^2 X=0,
cuja solução geral é combinação de exponenciais. Impor Xn(a)=0 leva à forma
Xn(x)=sinhl(lambdan(a-x)r),
pois sinh(lambdan(a-a))=0.

Passo 4

A solução geral é soma dos modos:
u(x,y) =sumn=1^inftyCn, sinhl(lambdan(a-x)r), sinl(lambdan yr),
onde os coeficientes Cn vêm de u(0,y)=h(y):
sumn=1^infty Cnsinh(lambdan a)sin(lambdan y)=h(y)
Pela ortogonalidade de sin(lambdan y) obtemos
Cn =2b,sinh(lambdan a) integral0^bh(y),sin!l(npibyr),dy
Isto resolve o item (a).

Passo 5

Para o item (b), tomamos a=b=2, lambdan=npi/2, e
Cn =22,sinh(npi) integral0^2h(y),sin!l(npi2yr),dy =1sinh(npi)In,
com
In =integral0^1(-1)sin!l(tfracnpi2yr),dy +integral1^2(1)sin!l(tfracnpi2yr),dy

Passo 6

Calculando In:
In =-1-cos(tfracnpi2)tfracnpi2 +cos(tfracnpi2)-cos(npi)tfracnpi2 =2cos(tfracnpi2)l(1-cos(tfracnpi2)r)tfracnpi2
Usando cos(2theta)=2cos^2theta-1, verifica-se que Inneq0 apenas quando nequiv2pmod4, e então
In=-8npi
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Cn= -dfrac8npi,sinh(npi),&nequiv2pmod4, 0,&caso contrário á

Passo 7

Portanto a solução pedida em , é

Resposta

(a)
(b) Com e em , em ,

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