QUESTÃO 2 - Considere o problema de Dirichlet no retângulo:
(a) Encontre uma solução geral deste problema.
(b) Encontre a solução no caso em que
a=b=2 e
h(y)= -1, & se 0 <= y <= 1 1, & se 1 <= y <= 2
(b) Encontre a solução no caso em que
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de Dirichlet para a equação de Laplace
com contornos
O conteúdo principal é usar separação de variáveis e expansão em série de senos.
Passo 2
Assumimos
u(x,y)=X(x),Y(y) . Substituindo em
uxx+uyy=0 e dividindo por
XY dá
Pelas condições
Y(0)=Y(b)=0 surge o problema de autovalores
cujas soluções são
Passo 3
Para cada
lambdan ,
Xn satisfaz
cuja solução geral é combinação de exponenciais. Impor
Xn(a)=0 leva à forma
pois
sinh(lambdan(a-a))=0 .
Passo 4
A solução geral é soma dos modos:
onde os coeficientes
Cn vêm de
u(0,y)=h(y) :
Pela ortogonalidade de
sin(lambdan y) obtemos
Isto resolve o item (a).
Passo 5
Para o item (b), tomamos
a=b=2 ,
lambdan=npi/2 , e
com
Passo 6
Calculando
In :
Usando
cos(2theta)=2cos^2theta-1 , verifica-se que
Inneq0 apenas quando
nequiv2pmod4 , e então
Logo
Passo 7
Portanto a solução pedida em
,
é
Resposta
(a)
(b) Com
e
em
,
em
,