QUESTÃO 1 - Considere a equação
(a) Usando o método de separação de variáveis, com
, prove que
(b) Encontre uma solução geral da equação acima para
, com as condições:
(c) Resolva o problema para
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
no retângulo
, com condições de contorno
e condições iniciais
O objetivo é (a) aplicar separação de variáveis
e obter a relação
depois (b) achar a solução geral via autofunções e (c) especializar em
.
Passo 2
Substituindo
na PDE e dividindo por
obtemos
ou seja
onde
é constante de separação.
Passo 3
Da parte espacial vem a EDO
com
. Para existir solução não-trivial usamos
,
, e obtemos
Passo 4
Para cada
a parte temporal satisfaz
Defina
. Então
Como
impõe
, segue
.
Passo 5
A solução geral é
Da condição
tiramos
de onde
Passo 6
No caso
temos
logo
Assim