QUESTÃO 1 - Considere a equação
ut t(x, t)-4 ux x(x, t)+u(x, t)=0
(a) Usando o método de separação de variáveis, com u(x, t)=X(x) T(t), prove que
T^prime prime(t)T(t)+1=4 X^prime prime(x)X(x)=sigma
(b) Encontre uma solução geral da equação acima para 0<x<pi, t>0, com as condições:
lll u(0, t)=0, & u(pi, t)=0, & 0 <= t ut(x, 0)=0, & u(x, 0)=g(x), & 0 <= x <= pi
(c) Resolva o problema para g(x)=1.

Passo 1

O enunciado dá a equação
ut t(x, t) - 4,ux x(x, t) + u(x, t) = 0,
no retângulo 0<x<pi,;t>0, com condições de contorno
u(0,t)=0, u(pi,t)=0
e condições iniciais
u(x,0)=g(x), ut(x,0)=0
O objetivo é (a) aplicar separação de variáveis u(x,t)=X(x),T(t) e obter a relação
T''(t)T(t) + 1 ;=; 4,X''(x)X(x) ;=;sigma,
depois (b) achar a solução geral via autofunções e (c) especializar em g(x)=1.

Passo 2

Substituindo u(x,t)=X(x),T(t) na PDE e dividindo por X(x)T(t) obtemos
T''(t)T(t) - 4,X''(x)X(x) + 1 = 0
ou seja
T''(t)T(t) + 1 ;=; 4,X''(x)X(x) ;=;sigma,
onde sigma é constante de separação.

Passo 3

Da parte espacial vem a EDO
X''(x) - sigma4,X(x) = 0,
com X(0)=0,;X(pi)=0. Para existir solução não-trivial usamos sigma=-4n^2, n=1,2,dots, e obtemos
Xn(x)=sin(n x)

Passo 4

Para cada sigman=-4n^2 a parte temporal satisfaz
T''(t) + l(1 + sigmanr),T(t) = 0 Longrightarrow T''(t) - (4n^2-1),T(t)=0
Defina alphan=raiz4n^2-1. Então
Tn(t)=Ancoshl(alphan tr)+Bnsinhl(alphan tr)
Como ut(x,0)=0 impõe Tn'(0)=0, segue Bn=0.

Passo 5

A solução geral é
u(x,t) = sumn=1^infty An,coshl(alphan tr),sin(n x)
Da condição u(x,0)=g(x) tiramos
sumn=1^infty An,sin(n x)=g(x),
de onde
An = 2piintegral0^pig(x),sin(n x),dx

Passo 6

No caso g(x)=1 temos
integral0^pisin(n x),dx =2nl(1-(-1)^nr),
logo
An=2pi,2nl(1-(-1)^nr) = dfrac4pi n,&n ímpar,[6pt] 0,&n par í
Assim
u(x,t) =summ=0^infty4pi,(2m+1) cosh!l(raiz4(2m+1)^2-1,,tr), sinl((2m+1)xr) ]

Resposta

u(x,t) =summ=0^infty4pi,(2m+1) cosh!l(raiz4(2m+1)^2-1,,tr), sinl((2m+1)xr)

Exercícios relacionados