Suponha que u esteja bem definida e seja limitada na região.
(a) Encontre uma solução geral deste problema.
(b) Encontre a solução no caso em que a=1, alpha=pi / 4, e f(theta)=1.
Passo 1
O enunciado pede a resolução do problema de Dirichlet para a equação de Laplace em coordenadas polares no domínio externo ao semientorno definido por
r>a, 0<theta<alpha,
com condições de contorno
u(r,0)=0, u(r,alpha)=0(r>= a),
u(a,theta)=f(theta)(0<=theta<=alpha),
e ainda a exigência de que u seja limitada (isto é, não cresça no infinito). O conteúdo usado será separação de variáveis em coordenadas polares e expansão em série de Fourier senoidal em theta.
Passo 2
Propomos u(r,theta)=R(r),Theta(theta). Substituindo na equação de Laplace