QUESTÃO 3 - Considere o problema de Dirichlet
ur r(r, theta)+1r ur(r, theta)+1r^2 utheta theta(r, theta)=0, & r>a, 0<theta<alpha u(r, 0)=0, u(r, alpha)=0, & r >= a u(a, theta)=f(theta), & 0 <= theta <= alpha
Suponha que u esteja bem definida e seja limitada na região.
(a) Encontre uma solução geral deste problema.
(b) Encontre a solução no caso em que a=1, alpha=pi / 4, e f(theta)=1.

Passo 1

O enunciado pede a resolução do problema de Dirichlet para a equação de Laplace em coordenadas polares no domínio externo ao semientorno definido por
r>a, 0<theta<alpha,
com condições de contorno
u(r,0)=0, u(r,alpha)=0(r>= a),
u(a,theta)=f(theta)(0<=theta<=alpha),
e ainda a exigência de que u seja limitada (isto é, não cresça no infinito). O conteúdo usado será separação de variáveis em coordenadas polares e expansão em série de Fourier senoidal em theta.

Passo 2

Propomos u(r,theta)=R(r),Theta(theta). Substituindo na equação de Laplace
urr+1r,ur+1r^2uthetatheta=0
e dividindo por R,Theta, obtemos
r^2R''+rR'R + Theta''Theta=0 Longrightarrow Theta''Theta=-lambda, r^2R''+rR'-lambda R=0
As condições Theta(0)=Theta(alpha)=0 forçam
Thetan(theta)=sin!l(tfracnpialpha,thetar), lambdan=l(tfracnpialphar)^2, n=1,2,dots

Passo 3

Para cada n, a equação radial
r^2R''+rR'-l(tfracnpialphar)^2R=0
tem soluções r^npi/alpha e r^-,npi/alpha. Como exigimos u limitada para rtoinfty, rejeitamos a parte crescente r^npi/alpha. Logo
Rn(r)=Cn,r^-,npi/alpha
A soma sobre todos os modos dá a solução geral
u(r,theta) =sumn=1^inftyCn,r^-,tfracnpialpha sin!l(tfracnpialpha,thetar)

Passo 4

Impondo u(a,theta)=f(theta), obtemos a expansão senoidal
f(theta) =sumn=1^inftyCn,a^-,tfracnpialpha sin!l(tfracnpialpha,thetar)
Os coeficientes vêm da série de Fourier senoidal em [0,alpha]:
Cn,a^-,tfracnpialpha =2alphaintegral0^alphaf(theta) sin!l(tfracnpialpha,thetar),dtheta
Assim
Cn =2,a^,npi/alphaalpha integral0^alphaf(theta) sin!l(tfracnpialpha,thetar),dtheta

Passo 5

No caso a=1, alpha=tfracpi4 e f(theta)=1, temos
Cn =2cdot1^,4ntfracpi4 integral0^tfracpi4 sin(4ntheta),dtheta =8pi gl[ -cos(4ntheta)4n gr]0^tfracpi4 =8pi, l(-14nr)l(cos(npi)-1r)
Como cos(npi)=(-1)^n, isso leva a
Cn =-2pi nl((-1)^n-1r) = 4pi n,&n ímpar, 0,&n par í

Passo 6

Portanto a solução específica é
u(r,theta) =sumk=1^infty 4pi(2k-1), r^-,4(2k-1), sinl(4(2k-1),thetar)

Resposta

u(r,theta) =sumk=1^infty 4pi(2k-1), sinl(4(2k-1),thetar)r^4(2k-1)

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