Utilizando multiplicadores de Lagrange, determine os máximos e mínimos das funções, limitadas por suas respectivas restrições:
f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2, com restrição x^2+y^2+z^2=12

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, usando multiplicadores de Lagrange, os extremos da função
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2
sujeita à restrição
x^2+y^2+z^2=12
O conteúdo é o método de Lagrange para otimização com restrição de igualdade.

Passo 2

Construímos a função de Lagrange
L(x,y,z,lambda)=x^2+y^2+z^2-lambdal(x^2+y^2+z^2-12r)
As condições de otimalidade são
partial Lpartial x=2x-2lambda x=2x(1-lambda)=0,
partial Lpartial y=2y-2lambda y=2y(1-lambda)=0,
partial Lpartial z=2z-2lambda z=2z(1-lambda)=0,
partial Lpartial lambda=-(x^2+y^2+z^2-12)=0

Passo 3

Das três primeiras equações, para que não tenhamos x=y=z=0 (o que violaria a restrição), é necessário
1-lambda=0Longrightarrowlambda=1
A última equação impõe simplesmente
x^2+y^2+z^2=12,
isto é, qualquer ponto da esfera de raio raiz12.

Passo 4

Em qualquer ponto que satisfaça x^2+y^2+z^2=12, temos
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2=12
Portanto, sobre a restrição, a função é constante.

Resposta

O valor mínimo e o valor máximo de f na restrição são ambos 12, atingidos em todos os pontos da esfera x^2+y^2+z^2=12.

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