Utilizando multiplicadores de Lagrange, determine os máximos e mínimos das funções, limitadas por suas respectivas restrições:
, com restrição
Passo 1
O enunciado pede para encontrar, usando multiplicadores de Lagrange, os extremos da função
sujeita à restrição
O conteúdo é o método de Lagrange para otimização com restrição de igualdade.
Passo 2
Construímos a função de Lagrange
As condições de otimalidade são
Passo 3
Das três primeiras equações, para que não tenhamos
(o que violaria a restrição), é necessário
A última equação impõe simplesmente
isto é, qualquer ponto da esfera de raio
.
Passo 4
Em qualquer ponto que satisfaça
, temos
Portanto, sobre a restrição, a função é constante.
Resposta
O valor mínimo e o valor máximo de
na restrição são ambos
, atingidos em todos os pontos da esfera
.