Questão 2)
Considere o problema de estoque hospital enfrenta. Não há nenhuma necessidade de um tipo de sangue raro (sangue tipo AB, Rh negativo). A demanda D (em litros), ao longo de qualquer período de três dias é dada por: P(D=0)=0.4, P(D=1)=0.3, P(D=2)=0.2, P(D=3)=0.1.
Observe que a demanda esperada (E[D]=1) é de 1 litro . Suponha que haja três dias entre as entregas. O hospital propõe uma política de receber um litro a cada entrega e usar os estoques de sangue mais antigos primeiro. Se for necessário mais sangue que o disponível, é feita uma entrega de emergência. O sangue é descartado, caso ele ainda se encontre nas prateleiras após 21 dias. Represente o estado do sistema como o número de litros disponíveis logo após uma
entrega. Portanto, em virtude dessa política de descartar sangue, o maior estado possível é 7.
(a) Construa a matriz de transição (em uma etapa) para essa cadeia de Markov.
(b) A matriz de transição é regular?
(c) Encontre as probabilidades de estado estável do estado da cadeia de
Markov. {obs: caso não exista preencha com valores 0}
(d) Use os resultados do item (c) para encontrar a probabilidade de estado estável de que um litro de sangue será descartado durante um período de três dias. Dica: pelo fato de o sangue mais antigo ser usado primeiro, um litro chega aos 21 dias somente se o estado fosse 7 e depois D=0.
(e) Utilize os resultados do item (c) para encontrar a probabilidade de estado estável de que uma entrega de emergência será necessária durante o período de três dias entre entregas regulares.
(dica 1: a probabilidade pedida envolve situações em que o estoque é menor que a demanda, ex: prob. de estar no estado 1 e a demanda for maior que aquela em estoque)
(dica 2: observe que “Se for necessário mais sangue que o disponível, é feita uma entrega de emergência”.)
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos uma cadeia de Markov em que o estado i\in\{0,1,\dots,7\} é o número de litros de sangue no estoque logo após uma entrega agendada de 1 L. A cada período de três dias: 1. ocorre uma demanda aleatória D\in\{0,1,2,3\} com
2. se D>i, faz-se uma entrega de emergência que supre exatamente D-i litros (essas unidades são consumidas imediatamente). 3. descarta-se qualquer litro que atingiu 21 dias de validade (isto impõe capacidade máxima de 7 L). 4. chega a entrega regular de 1 L.
Logo, do estado i para o próximo estado j basta calcular
j \;=\;\min\bigl(\max(i - D,0)+1,\;7\bigr).
Para montar a matriz de transição e resolver itens (b) a (e) usaremos essa regra.
Passo 2
(a) Construção de \mathbf P=(p_{i j}) com i,j=0,\dots,7. Do estado i saímos para
(b) A matriz é regular porque, por exemplo, em duas ou três etapas há probabilidade positiva de ir de qualquer estado a qualquer outro (graças a P(D=0)>0 e às remoções) e portanto \mathbf P^k tem todas as entradas positivas para algum k.
Passo 4
(c) Procuramos \boldsymbol\pi\,P=\boldsymbol\pi, \sum_i\pi_i=1. Da equação para \pi_0 vem \pi_0=0 (não há transição para 0). Pelas equações em cadeia nota-se que