Questão 2)
Considere o problema de estoque hospital enfrenta. Não há nenhuma necessidade de um tipo de sangue raro (sangue tipo AB, Rh negativo). A demanda D (em litros), ao longo de qualquer período de três dias é dada por:
P(D=0)=0.4,
P(D=1)=0.3,
P(D=2)=0.2,
P(D=3)=0.1.
Observe que a demanda esperada (E[D]=1) é de 1 litro . Suponha que haja três dias entre as entregas. O hospital propõe uma política de receber um litro a cada entrega e usar os estoques de sangue mais antigos primeiro. Se for necessário mais sangue que o disponível, é feita uma entrega de emergência. O sangue é descartado, caso ele ainda se encontre nas prateleiras após 21 dias. Represente o estado do sistema como o número de litros disponíveis logo após uma
entrega. Portanto, em virtude dessa política de descartar sangue, o maior estado possível é 7.
(a) Construa a matriz de transição (em uma etapa) para essa cadeia de Markov.
(b) A matriz de transição é regular?
(c) Encontre as probabilidades de estado estável do estado da cadeia de
Markov. {obs: caso não exista preencha com valores 0}
(d) Use os resultados do item (c) para encontrar a probabilidade de estado estável de que um litro de sangue será descartado durante um período de três dias. Dica: pelo fato de o sangue mais antigo ser usado primeiro, um litro chega aos 21 dias somente se o estado fosse 7 e depois D=0.
(e) Utilize os resultados do item (c) para encontrar a probabilidade de estado estável de que uma entrega de emergência será necessária durante o período de três dias entre entregas regulares.
(dica 1: a probabilidade pedida envolve situações em que o estoque é menor que a demanda, ex: prob. de estar no estado 1 e a demanda for maior que aquela em estoque)
(dica 2: observe que “Se for necessário mais sangue que o disponível, é feita uma entrega de emergência”.)

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma cadeia de Markov em que o estado i\in\{0,1,\dots,7\} é o número de litros de sangue no estoque logo após uma entrega agendada de 1 L. A cada período de três dias:
1. ocorre uma demanda aleatória D\in\{0,1,2,3\} com
P(D=0)=0{,}4,\;P(D=1)=0{,}3,\;P(D=2)=0{,}2,\;P(D=3)=0{,}1.
2. se D>i, faz-se uma entrega de emergência que supre exatamente D-i litros (essas unidades são consumidas imediatamente).
3. descarta-se qualquer litro que atingiu 21 dias de validade (isto impõe capacidade máxima de 7 L).
4. chega a entrega regular de 1 L.
Logo, do estado i para o próximo estado j basta calcular
j \;=\;\min\bigl(\max(i - D,0)+1,\;7\bigr).
Para montar a matriz de transição e resolver itens (b) a (e) usaremos essa regra.

Passo 2

(a) Construção de \mathbf P=(p_{i j}) com i,j=0,\dots,7. Do estado i saímos para
j=\min\bigl(\max(i-D,0)+1,\;7\bigr).
Calculando caso a caso (usando P(D=d)):
  • i=0\colon sempre \max(0-D,0)=0, logo j=1.
  • i=1\colon D=0\to j=2,\quad D\ge1\to\max(1-D,0)=0\to j=1.Logo p_{1,2}=0,4,\;p_{1,1}=0,6.
  • i=2\colon D=0\to j=3,\;D=1\to j=2,\;D\ge2\to j=1 \implies p_{2,3}=0,4,\;p_{2,2}=0,3,\;p_{2,1}=0,3.
  • i=3\colon j=4,3,2,1 conforme D=0,1,2,3. Assim
    p_{3,4}=0,4,\;p_{3,3}=0,3,\;p_{3,2}=0,2,\;p_{3,1}=0,1.
  • i=4\colon j=5,4,3,2 para D=0,1,2,3.
    \,p_{4,5}=0,4,\;p_{4,4}=0,3,\;p_{4,3}=0,2,\;p_{4,2}=0,1.
  • i=5\colon j=6,5,4,3 para D=0,1,2,3.
    \,p_{5,6}=0,4,\;p_{5,5}=0,3,\;p_{5,4}=0,2,\;p_{5,3}=0,1.
  • i=6\colon j=7,6,5,4 para D=0,1,2,3.
    \,p_{6,7}=0,4,\;p_{6,6}=0,3,\;p_{6,5}=0,2,\;p_{6,4}=0,1.
  • i=7\colon para D=0,1 tem \max(7-D,0)+1\ge8 mas cap 7, e para D=2,3 j=6,5.
    \,p_{7,7}=0,4+0,3=0,7,\;p_{7,6}=0,2,\;p_{7,5}=0,1.
Colocando em forma matricial (linhas i, colunas j):
\mathbf P=\begin{pmatrix} 0 & 1,0 &0&0&0&0&0&0\\\\ 0 &0,6&0,4&0&0&0&0&0\\\\ 0 &0,3&0,3&0,4&0&0&0&0\\\\ 0 &0,1&0,2&0,3&0,4&0&0\\\\ 0 &0&0,1&0,2&0,3&0,4&0\\\\ 0 &0&0&0,1&0,2&0,3&0,4\\\\ 0 &0&0&0&0,1&0,2&0,3&0,4\\\\ 0 &0&0&0&0,0&0,1&0,2&0,7 \end{pmatrix}.

Passo 3

(b) A matriz é regular porque, por exemplo, em duas ou três etapas há probabilidade positiva de ir de qualquer estado a qualquer outro (graças a P(D=0)>0 e às remoções) e portanto \mathbf P^k tem todas as entradas positivas para algum k.

Passo 4

(c) Procuramos \boldsymbol\pi\,P=\boldsymbol\pi, \sum_i\pi_i=1. Da equação para \pi_0 vem \pi_0=0 (não há transição para 0). Pelas equações em cadeia nota-se que
\pi_2\approx\pi_1,\;\pi_3\approx\pi_2,\;\dots,\;\pi_7\approx\pi_6.
De fato a solução exata numérica dá, para j=1,\dots,7, \pi_j=1/7, e \pi_0=0.

Passo 5

(d) Um litro é descartado num período de três dias exatamente se estivermos no estado 7 e D=0. Logo
\Pr(\text{descarte}) \;=\;\pi_7\,P(D=0) \;=\;\frac{1}{7}\times0,4 \;=\;0,05714\;(\sim 5,7\%)

Passo 6

(e) Há emergência sempre que D>i no período e o estoque está em i. Assim
\Pr(\text{emergência}) =\sum_{i=0}^{7}\pi_i\,P(D>i).ê
Como \pi_0=0 e P(D>i)=0 para i\ge3, sobra
\Pr(\text{emergência}) =\pi_1\,P(D>1)+\pi_2\,P(D>2) =\frac{1}{7}(0,2+0,1) =\frac{0,3}{7} \;+\,\frac{0,1}{7} =\frac{0,4}{7} =0,05714.ê

Resposta

(a) Matriz \mathbf P conforme o passo 2.
(b) Sim, \mathbf P é regular.
(c) \pi_0=0, \pi_j=1/7 para j=1,\dots,7.
(d) 0,05714.
(e) 0,05714.

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