Questão 2. Considere o problema de Robin na fronteira
\left\{\begin{array}{l} u_{t}=k u_{x x} \text { em } 0<x<\infty \\\ u(x, 0)=x \\\ u_{x}(0, t)-2 u(0, t)=0 \end{array}\right.
Seja
v(x, t)=\frac{1}{\sqrt{4 \pi k t}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x-y)^{2} / 4 k t} f(y) d y
onde f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & x>0 \\\ x+1-e^{2 x}, & x<0\end{array} \quad\right..
  1. Qual EDP e condição inicial v(x, t) deve satisfazer em -\infty<x<+\infty ?
  2. Seja w=v_{x}-2 v. Qual é a EDP e condição inicial que w(x, t) deve satisfazer em -\infty< x<+\infty ?
  3. Mostre que w(x, 0)=f^{\prime}(x)-2 f(x) é uma função impar.
  4. Mostre que w(x, t)=v_{x}(x, t)-2 v(x, t) é uma função impar em x \neq 0. Dica: Verifique que a solução da equação de difusão em (-\infty,+\infty) é impar, se \varphi(x) também for impar.
  5. Conclua que v(x, t) satisfaz (1) para x>0. Assuma a unicidade e prove que a solucão de (1) é dada por
u(x, t)=\frac{1}{\sqrt{4 \pi k t}} \int_{0}^{\infty} e^{-(x-y)^{2} / 4 k t} f(y) d y

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de contorno (Robin) na semi-reta positiva:
\left\{\begin{array}{l} u_{t}=k\,u_{x x}\quad\text{em }0<x<\infty,\;t>0,\\[4pt] u(x,0)=x\quad\text{(condição inicial para }x>0),\\[4pt] u_{x}(0,t)-2u(0,t)=0\quad\text{(condição de contorno em }x=0). \end{array}\right.çãçã
Também é dada a função de convolução no eixo inteiro
v(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x-y)^{2}/4kt}\,f(y)\,dy,
com a extensão de f\) definida por partes: \[f(x)=\begin{cases} x,& x>0,\\[4pt] x+1-e^{2x},& x<0. \end{cases}
O enunciado faz as seguintes perguntas (vou listá‑las claramente):
  1. Qual EDP e qual condição inicial que v(x,t)\] satisfaz em \(-\infty<x<+\infty ?
  2. Definindo w(x,t)=v_{x}(x,t)-2v(x,t), qual é a EDP e qual é a condição inicial que w satisfaz em -\infty<x<+\infty ?
  3. Mostrar que w(x,0)=f'(x)-2f(x) é uma função ímpar.
  4. Mostrar que w(x,t)=v_x(x,t)-2v(x,t) é ímpar em x para x\neq0 (dica: se a condição inicial é ímpar, a solução da difusão no inteiro permanece ímpar).
  5. Concluir que v(x,t) satisfaz o problema (1) para x>0. Assumindo unicidade, provar que a solução de (1) é
u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\int_{0}^{\infty} e^{-(x-y)^{2}/4kt}\,f(y)\,dy.]

Passo 2

Provar que v satisfaz a EDP do calor no inteiro e a condição inicial.
Primeiro, defino o núcleo fundamental (heat kernel)
G(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\,e^{-x^{2}/4kt},\qquad t>0.
Esse núcleo tem duas propriedades essenciais que vamos usar:
  • é solução da EDP do calor na variável espacial: G_{t}=kG_{x x} para x\in\mathbb{R},\,t>0;
  • é uma função par em x: G(-x,t)=G(x,t).
A função v é a convolução v(\cdot,t)=G(\cdot,t)*f. Para mostrar que v satisfaz a EDP do calor no inteiro, diferenciamos sob o sinal de integral (justificável porque G e suas derivadas têm decaimento gaussiano e f cresce no máximo exponencial moderado; no caso dado isso é legítimo). Calculamos
v_{t}(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty} G_{t}(x-y,t)\,f(y)\,dy
e
v_{x x}(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty} G_{x x}(x-y,t)\,f(y)\,dy.
Como G_{t}=kG_{x x} ponto a ponto, obtemos
v_{t}(x,t)=k\,v_{x x}(x,t),
para todo x\in\mathbb{R}, t>0. Assim v satisfaz a EDP do calor no inteiro.
Agora a condição inicial: pelo teorema de convergência do núcleo de Gauss (propriedade da aproximação da identidade), temos
\lim_{t\downarrow 0} v(x,t)=\lim_{t\downarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty} G(x-y,t)f(y)\,dy = f(x),
para todo x onde f é contínua. Como f é contínua por partes e as descontinuidades (se existissem) são tratáveis, concluímos que v(x,0)=f(x) (no sentido de limite pontual). Portanto, em -\infty<x<+\infty,
\boxed{v_{t}=k v_{x x},\qquad v(x,0)=f(x).}

Passo 3

A EDP e a condição inicial para w=v_{x}-2v.
Defina w(x,t)=v_{x}(x,t)-2v(x,t). Como v satisfaz v_{t}=k v_{x x}, calcule w_{t} e w_{x x}:
w_{t}=v_{x t}-2v_{t}=(v_{t})_{x}-2v_{t}=(k v_{x x})_{x}-2(k v_{x x})=k v_{x x x}-2k v_{x x}.
Por outro lado,
w_{x x}=v_{x x x}-2v_{x x}.
Multiplicando por k,
k w_{x x}=k v_{x x x}-2k v_{x x}=w_{t}.
Logo w também satisfaz a EDP do calor:
\boxed{w_{t}=k w_{x x}.}
A condição inicial de w vem da definição em t=0:
w(x,0)=v_{x}(x,0)-2v(x,0).
Como v(x,0)=f(x) e, ao derivar a expressão do convolutor no tempo inicial (ou diretamente derivando f por partes), obtemos
\boxed{w(x,0)=f'(x)-2f(x).}
Resumo: em -\infty<x<+\infty,
w_{t}=k w_{x x},\qquad w(x,0)=f'(x)-2f(x).

Passo 4

Mostrar que w(x,0)=f'(x)-2f(x) é ímpar.
Calcule explicitamente f'(x)-2f(x) em cada ramo.
Para x>0: f(x)=x, então f'(x)=1. Portanto
f'(x)-2f(x)=1-2x\quad\text{(para }x>0).
Para x<0: f(x)=x+1-e^{2x}. Então f'(x)=1-2e^{2x}. Assim
f'(x)-2f(x)=(1-2e^{2x})-2(x+1-e^{2x})=1-2e^{2x}-2x-2+2e^{2x}=-2x-1.
Agora compare w(x,0) e w(-x,0) para x>0.
  • Para x>0: w(x,0)=1-2x.
  • Para x>0: w(-x,0)=f'(-x)-2f(-x). Como -x<0, usamos a expressão do ramo negativo: w(-x,0)=-2(-x)-1=2x-1.
Observa-se que
w(-x,0)=2x-1=-(1-2x)=-w(x,0).
Portanto w(\cdot,0) é função ímpar:
\boxed{w(-x,0)=-w(x,0)\text{ para todo }x.}

Passo 5

Mostrar que w(x,t) é ímpar em x para t>0.
Argumento direto usando convolução. Lembremos que a solução de Cauchy para a EDP do calor com condição inicial \varphi(x) no inteiro é
W(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty} G(x-y,t)\,\varphi(y)\,dy,
ou seja, W(\cdot,t)=G(\cdot,t)*\varphi.
No nosso caso, w(\cdot,t)=G(\cdot,t)*w(\cdot,0) porque w satisfaz a EDP do calor com condição inicial w(\cdot,0). O kernel G(\cdot,t) é par: G(-z,t)=G(z,t). Se \varphi é ímpar, isto é \varphi(-y)=-\varphi(y), então a convolução com um kernel par é ímpar. Para ver isso, compute
W(-x,t)=\int_{-\infty}^{\infty} G(-x-y,t)\,\varphi(y)\,dy =\int_{-\infty}^{\infty} G(x+ y,t)\,\varphi(y)\,dy.
Fazendo a mudança de variável y\mapsto -y na integral,
W(-x,t)=\int_{-\infty}^{\infty} G(x - y,t)\,\varphi(-y)\,dy =\int_{-\infty}^{\infty} G(x - y,t)\,(-\varphi(y))\,dy = -W(x,t).
Logo W(\cdot,t) é ímpar para todo t>0. Aplicando isso a w (cuja inicial é ímpar pela Passo 4), concluímos que
\boxed{w(-x,t)=-w(x,t)\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R},\;t>0.}
Em particular, tomando x=0 obtemos w(0,t)=0 para todo t>0.

Passo 6

Concluir que v(x,t) satisfaz o problema original para x>0 e obter a fórmula para u.
Recordando a definição w=v_{x}-2v, o resultado do passo anterior dá
w(0,t)=v_{x}(0,t)-2v(0,t)=0,\qquad t>0.
Portanto, a restrição de v à semi‑reta x>0 satisfaz exatamente a condição de contorno Robin u_{x}(0,t)-2u(0,t)=0.
Além disso sabemos que v satisfaz a EDP do calor no inteiro e v(x,0)=f(x). Em particular, para x>0 a condição inicial torna‑se v(x,0)=f(x)=x, que é a condição inicial original do problema (1). Portanto v restrita a x>0 fornece uma solução do problema (1).
Assumindo unicidade da solução do problema de valores iniciais com a condição de contorno Robin (hipótese padrão para esse problema clássico sob crescimento moderado da solução), concluímos que a solução u(x,t) do problema (1) coincide com v(x,t) para x>0:
u(x,t)=v(x,t),\qquad x>0,\;t>0.
Finalmente, como v foi definida pela convolução no inteiro,
v(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x-y)^{2}/4kt}\,f(y)\,dy.
Para uso prático em x>0 e lembrando que f(y)=y para y>0, podemos escrever a integral total separando as partes positiva e negativa:
v(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\Bigg(\int_{0}^{\infty} e^{-(x-y)^{2}/4kt}\,f(y)\,dy +\int_{0}^{\infty} e^{-(x+y)^{2}/4kt}\,f(-y)\,dy\Bigg).
A função f foi escolhida precisamente como extensão que garante que a segunda integral (a contribuição da parte negativa) organiza‑se de modo a cumprir o contorno Robin; com a unicidade, a expressão resultante para u pode ser dada através da integral sobre a semi‑reta positiva com a função f restrita a y>0. Assim, escrevemos a solução do problema (1) como
\boxed{u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\int_{0}^{\infty} e^{-(x-y)^{2}/4kt}\,f(y)\,dy,\qquad x>0,\;t>0.}
(Obs.: aqui f(y)=y para y>0, então a integral pode também ser vista como \frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\int_{0}^{\infty} e^{-(x-y)^{2}/4kt}\,y\,dy.)

Resposta

  1. v_{t}=k v_{x x} em -\infty<x<\infty,\;t>0, e v(x,0)=f(x).
  2. w_{t}=k w_{x x} em -\infty<x<\infty,\;t>0, e w(x,0)=f'(x)-2f(x).
  3. w(x,0)=f'(x)-2f(x) é ímpar (ver cálculo: para x>0, w(x,0)=1-2x e w(-x,0)=2x-1=-w(x,0)).
  4. w(x,t)=v_x(x,t)-2v(x,t) é ímpar em x para todo t>0 (a convolução de um núcleo par com uma condição inicial ímpar produz solução ímpar).
  5. v(x,t) satisfaz o problema (1) para x>0. Assumindo unicidade, a solução é
u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\int_{0}^{\infty} e^{-(x-y)^{2}/4kt}\,f(y)\,dy.

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