v(x, t)=\frac{1}{\sqrt{4 \pi k t}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x-y)^{2} / 4 k t} f(y) d y
onde f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & x>0 \\\ x+1-e^{2 x}, & x<0\end{array} \quad\right..
Qual EDP e condição inicial v(x, t) deve satisfazer em -\infty<x<+\infty ?
Seja w=v_{x}-2 v. Qual é a EDP e condição inicial que w(x, t) deve satisfazer em -\infty< x<+\infty ?
Mostre que w(x, 0)=f^{\prime}(x)-2 f(x) é uma função impar.
Mostre que w(x, t)=v_{x}(x, t)-2 v(x, t) é uma função impar em x \neq 0. Dica: Verifique que a solução da equação de difusão em (-\infty,+\infty) é impar, se \varphi(x) também for impar.
Conclua que v(x, t) satisfaz (1) para x>0. Assuma a unicidade e prove que a solucão de (1) é dada por
u(x, t)=\frac{1}{\sqrt{4 \pi k t}} \int_{0}^{\infty} e^{-(x-y)^{2} / 4 k t} f(y) d y
Passo 1
O enunciado apresenta o problema de contorno (Robin) na semi-reta positiva:
\left\{\begin{array}{l} u_{t}=k\,u_{x x}\quad\text{em }0<x<\infty,\;t>0,\\[4pt] u(x,0)=x\quad\text{(condição inicial para }x>0),\\[4pt] u_{x}(0,t)-2u(0,t)=0\quad\text{(condição de contorno em }x=0). \end{array}\right.çãçã
Também é dada a função de convolução no eixo inteiro
v(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x-y)^{2}/4kt}\,f(y)\,dy,
com a extensão de f\) definida por partes:
\[f(x)=\begin{cases} x,& x>0,\\[4pt] x+1-e^{2x},& x<0. \end{cases}
O enunciado faz as seguintes perguntas (vou listá‑las claramente):
Qual EDP e qual condição inicial que v(x,t)\] satisfaz em \(-\infty<x<+\infty ?
Definindo w(x,t)=v_{x}(x,t)-2v(x,t), qual é a EDP e qual é a condição inicial que w satisfaz em -\infty<x<+\infty ?
Mostrar que w(x,0)=f'(x)-2f(x) é uma função ímpar.
Mostrar que w(x,t)=v_x(x,t)-2v(x,t) é ímpar em x para x\neq0 (dica: se a condição inicial é ímpar, a solução da difusão no inteiro permanece ímpar).
Concluir que v(x,t) satisfaz o problema (1) para x>0. Assumindo unicidade, provar que a solução de (1) é
u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\int_{0}^{\infty} e^{-(x-y)^{2}/4kt}\,f(y)\,dy.]
Passo 2
Provar que v satisfaz a EDP do calor no inteiro e a condição inicial.
Primeiro, defino o núcleo fundamental (heat kernel)
G(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\,e^{-x^{2}/4kt},\qquad t>0.
Esse núcleo tem duas propriedades essenciais que vamos usar:
é solução da EDP do calor na variável espacial: G_{t}=kG_{x x} para x\in\mathbb{R},\,t>0;
é uma função par em x: G(-x,t)=G(x,t).
A função v é a convolução v(\cdot,t)=G(\cdot,t)*f. Para mostrar que v satisfaz a EDP do calor no inteiro, diferenciamos sob o sinal de integral (justificável porque G e suas derivadas têm decaimento gaussiano e f cresce no máximo exponencial moderado; no caso dado isso é legítimo). Calculamos
para todo x onde f é contínua. Como f é contínua por partes e as descontinuidades (se existissem) são tratáveis, concluímos que v(x,0)=f(x) (no sentido de limite pontual). Portanto, em -\infty<x<+\infty,
\boxed{v_{t}=k v_{x x},\qquad v(x,0)=f(x).}
Passo 3
A EDP e a condição inicial para w=v_{x}-2v.
Defina w(x,t)=v_{x}(x,t)-2v(x,t). Como v satisfaz v_{t}=k v_{x x}, calcule w_{t} e w_{x x}:
No nosso caso, w(\cdot,t)=G(\cdot,t)*w(\cdot,0) porque w satisfaz a EDP do calor com condição inicial w(\cdot,0). O kernel G(\cdot,t) é par: G(-z,t)=G(z,t). Se \varphi é ímpar, isto é \varphi(-y)=-\varphi(y), então a convolução com um kernel par é ímpar. Para ver isso, compute
Logo W(\cdot,t) é ímpar para todo t>0. Aplicando isso a w (cuja inicial é ímpar pela Passo 4), concluímos que
\boxed{w(-x,t)=-w(x,t)\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R},\;t>0.}
Em particular, tomando x=0 obtemos w(0,t)=0 para todo t>0.
Passo 6
Concluir que v(x,t) satisfaz o problema original para x>0 e obter a fórmula para u.
Recordando a definição w=v_{x}-2v, o resultado do passo anterior dá
w(0,t)=v_{x}(0,t)-2v(0,t)=0,\qquad t>0.
Portanto, a restrição de v à semi‑reta x>0 satisfaz exatamente a condição de contorno Robin u_{x}(0,t)-2u(0,t)=0.
Além disso sabemos que v satisfaz a EDP do calor no inteiro e v(x,0)=f(x). Em particular, para x>0 a condição inicial torna‑se v(x,0)=f(x)=x, que é a condição inicial original do problema (1). Portanto v restrita a x>0 fornece uma solução do problema (1).
Assumindo unicidade da solução do problema de valores iniciais com a condição de contorno Robin (hipótese padrão para esse problema clássico sob crescimento moderado da solução), concluímos que a solução u(x,t) do problema (1) coincide com v(x,t) para x>0:
u(x,t)=v(x,t),\qquad x>0,\;t>0.
Finalmente, como v foi definida pela convolução no inteiro,
v(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x-y)^{2}/4kt}\,f(y)\,dy.
Para uso prático em x>0 e lembrando que f(y)=y para y>0, podemos escrever a integral total separando as partes positiva e negativa:
v(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\Bigg(\int_{0}^{\infty} e^{-(x-y)^{2}/4kt}\,f(y)\,dy +\int_{0}^{\infty} e^{-(x+y)^{2}/4kt}\,f(-y)\,dy\Bigg).
A função f foi escolhida precisamente como extensão que garante que a segunda integral (a contribuição da parte negativa) organiza‑se de modo a cumprir o contorno Robin; com a unicidade, a expressão resultante para u pode ser dada através da integral sobre a semi‑reta positiva com a função f restrita a y>0. Assim, escrevemos a solução do problema (1) como
\boxed{u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\int_{0}^{\infty} e^{-(x-y)^{2}/4kt}\,f(y)\,dy,\qquad x>0,\;t>0.}
(Obs.: aqui f(y)=y para y>0, então a integral pode também ser vista como \frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\int_{0}^{\infty} e^{-(x-y)^{2}/4kt}\,y\,dy.)
Resposta
v_{t}=k v_{x x} em -\infty<x<\infty,\;t>0, e v(x,0)=f(x).
w_{t}=k w_{x x} em -\infty<x<\infty,\;t>0, e w(x,0)=f'(x)-2f(x).
w(x,0)=f'(x)-2f(x) é ímpar (ver cálculo: para x>0, w(x,0)=1-2x e w(-x,0)=2x-1=-w(x,0)).
w(x,t)=v_x(x,t)-2v(x,t) é ímpar em x para todo t>0 (a convolução de um núcleo par com uma condição inicial ímpar produz solução ímpar).
v(x,t) satisfaz o problema (1) para x>0. Assumindo unicidade, a solução é
u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\int_{0}^{\infty} e^{-(x-y)^{2}/4kt}\,f(y)\,dy.