A partir da tabela:
1
2
3
4
6
70
50
40
30
20
10
a. calcule o coeficiente de correlaçāo;
b. determine a reta ajustada;
c. estime o valor de
para
.
|
|
1 | 2 | 3 | 4 |
|
6 |
|
|
70 | 50 | 40 | 30 | 20 | 10 |
b. determine a reta ajustada;
c. estime o valor de
Passo 1
O enunciado dá uma tabela com pares
e pede três coisas:
- (a) calcular o coeficiente de correlação entre
e ; - (b) determinar a reta de ajuste (regressão linear por mínimos quadrados de
sobre ); - (c) estimar o valor de
para .
Os dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado) são os seis pares:
Esses são todos os dados que usarei.
Passo 2
Primeiro calculamos as somas básicas que aparecem nas fórmulas:
Passo 3
Agora as médias:
Explicação rápida:
e
são os valores médios de
e
; são usados para centralizar os dados nas fórmulas de variância e covariância.
Passo 4
Calcular as somas de quadrados (componentes que entram nas fórmulas de regressão e correlação).
Definições que vou usar:
Substituindo:
Calculemos
. Então
Colocando em denominador comum:
Breve interpretação:
é a soma dos quadrados centrada de
(medida de variação de
),
é a de
e
é a covariância multiplicada por
(sinal indica direção da relação linear).
Passo 5
Calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson. Fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando a raiz:
e como
obtemos
Logo
Valor numérico aproximado:
Interpretação:
está muito próximo de
, indicando uma associação linear negativa forte. Ou seja, quando
aumenta
tende a diminuir de forma quase perfeitamente linear.
Passo 6
Determinar a reta de regressão de
sobre
. Fórmulas dos coeficientes (mínimos quadrados simples):
onde
.
Calculemos a inclinação (
):
Calculemos a interceptação (
):
Note que
. Assim
Portanto a reta ajustada é
ou, em forma decimal aproximada,
Interpretação rápida: a cada aumento unitário em
espera-se, em média, uma queda de aproximadamente
unidades em
. O intercepto é o valor previsto de
quando
(com a ressalva de extrapolação).
Passo 7
Estimativa de
para
:
Basta avaliar a reta em
:
Comentário de ânimo: os números aqui são bem simpáticos — a relação é praticamente linear e decrescente, então a reta faz sentido e a extrapolação a
dá esse valor. Se ficar nervoso na prova, segue a receita: calcule as somas, as médias, depois
e tudo se encaixa!
Resposta
(a)
\n(b)
\n(c)