A partir da tabela:
\mathrm{X}_{1} 1 2 3 4 5^{-} 6
y_{1} 70 50 40 30 20 10
a. calcule o coeficiente de correlaçāo;
b. determine a reta ajustada;
c. estime o valor de \mathbf{Y} para \mathbf{X}=0.

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com pares (X,Y) e pede três coisas:
  • (a) calcular o coeficiente de correlação entre X e Y;
  • (b) determinar a reta de ajuste (regressão linear por mínimos quadrados de Y sobre X);
  • (c) estimar o valor de Y para X=0.
Os dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado) são os seis pares:
(1,70),\\ (2,50),\\ (3,40),\\ (4,30),\\ (5,20),\\ (6,10).
Esses são todos os dados que usarei.

Passo 2

Primeiro calculamos as somas básicas que aparecem nas fórmulas:
n=6.
\sum X = 1+2+3+4+5+6 = 21.
\sum Y = 70+50+40+30+20+10 = 220.
\sum XY = 1\cdot70+2\cdot50+3\cdot40+4\cdot30+5\cdot20+6\cdot10 = 70+100+120+120+100+60 = 570.
\sum X^{2} = 1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2} = 1+4+9+16+25+36 = 91.
\sum Y^{2} = 70^{2}+50^{2}+40^{2}+30^{2}+20^{2}+10^{2} = 4900+2500+1600+900+400+100 = 10400.

Passo 3

Agora as médias:
\bar{X}=\dfrac{\sum X}{n}=\dfrac{21}{6}=\dfrac{7}{2}=3{,}5.
\bar{Y}=\dfrac{\sum Y}{n}=\dfrac{220}{6}=\dfrac{110}{3}\approx36{,}666\ldots
Explicação rápida: \bar{X} e \bar{Y} são os valores médios de X e Y; são usados para centralizar os dados nas fórmulas de variância e covariância.

Passo 4

Calcular as somas de quadrados (componentes que entram nas fórmulas de regressão e correlação).
Definições que vou usar:
S_{xx}=\sum X^{2}-n\bar{X}^{2}, \qquad S_{yy}=\sum Y^{2}-n\bar{Y}^{2}, \qquad S_{xy}=\sum XY - n\bar{X}\bar{Y}.
Substituindo:
S_{xx}=91 - 6\left(\dfrac{7}{2}\right)^{2}=91 - 6\cdot\dfrac{49}{4}=91 - \dfrac{294}{4}=91 - 73{,}5=17{,}5=\dfrac{35}{2}.
S_{xy}=570 - 6\cdot\bar{X}\bar{Y}=570 - 6\cdot\left(\dfrac{21}{6}\cdot\dfrac{220}{6}\right).
Calculemos \bar{X}\bar{Y}=\dfrac{21}{6}\cdot\dfrac{220}{6}=\dfrac{4620}{36}=\dfrac{385}{3}. Então
S_{xy}=570 - 6\cdot\dfrac{385}{3}=570 - 2\cdot385=570 - 770 = -200.
S_{yy}=10400 - 6\left(\dfrac{110}{3}\right)^{2}=10400 - 6\cdot\dfrac{12100}{9}=10400 - \dfrac{72600}{9}.
Colocando em denominador comum:
10400=\dfrac{93600}{9},\quad\text{logo}\quad S_{yy}=\dfrac{93600-72600}{9}=\dfrac{21000}{9}=\dfrac{7000}{3}\approx2333{,}333\ldots
Breve interpretação: S_{xx} é a soma dos quadrados centrada de X (medida de variação de X), S_{yy} é a de Y e S_{xy} é a covariância multiplicada por n (sinal indica direção da relação linear).

Passo 5

Calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson. Fórmula:
r=\dfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}}.
Substituindo os valores:
r=\dfrac{-200}{\sqrt{\dfrac{35}{2}\cdot \dfrac{7000}{3}}}.
Simplificando a raiz:
\dfrac{35}{2}\cdot \dfrac{7000}{3}=\dfrac{245000}{6}=\dfrac{122500}{3},
e como 122500=350^{2} obtemos
\sqrt{\dfrac{122500}{3}}=\dfrac{350}{\sqrt{3}}.
Logo
r=-200\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{350}=-\dfrac{200}{350}\sqrt{3}=-\dfrac{4}{7}\sqrt{3}.
Valor numérico aproximado:
r\approx -0{,}9897.
Interpretação: r está muito próximo de -1, indicando uma associação linear negativa forte. Ou seja, quando X aumenta Y tende a diminuir de forma quase perfeitamente linear.

Passo 6

Determinar a reta de regressão de Y sobre X. Fórmulas dos coeficientes (mínimos quadrados simples):
b_{1}=\dfrac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad b_{0}=\bar{Y}-b_{1}\bar{X},
onde \hat{Y}=b_{0}+b_{1}X.
Calculemos a inclinação ( b_{1}):
b_{1}=\dfrac{-200}{\tfrac{35}{2}}=-200\cdot\dfrac{2}{35}=-\dfrac{400}{35}=-\dfrac{80}{7}\approx-11{,}428571.
Calculemos a interceptação ( b_{0}):
b_{0}=\dfrac{110}{3} - \left(-\dfrac{80}{7}\right)\cdot\dfrac{7}{2}=\dfrac{110}{3} + \dfrac{80}{7}\cdot\dfrac{7}{2}.
Note que \dfrac{80}{7}\cdot\dfrac{7}{2}=\dfrac{80}{2}=40. Assim
b_{0}=\dfrac{110}{3}+40=\dfrac{110}{3}+\dfrac{120}{3}=\dfrac{230}{3}\approx76{,}666\ldots
Portanto a reta ajustada é
\hat{Y}= \dfrac{230}{3} - \dfrac{80}{7}\,X
ou, em forma decimal aproximada,
\hat{Y}\approx 76{,}666\ldots - 11{,}428571\,X.
Interpretação rápida: a cada aumento unitário em X espera-se, em média, uma queda de aproximadamente 11{,}43 unidades em Y. O intercepto é o valor previsto de Y quando X=0 (com a ressalva de extrapolação).

Passo 7

Estimativa de Y para X=0:
Basta avaliar a reta em X=0:
\hat{Y}(0)=b_{0}=\dfrac{230}{3}\approx76{,}666\ldots
Comentário de ânimo: os números aqui são bem simpáticos — a relação é praticamente linear e decrescente, então a reta faz sentido e a extrapolação a X=0 dá esse valor. Se ficar nervoso na prova, segue a receita: calcule as somas, as médias, depois S_{xx},S_{xy} e tudo se encaixa!

Resposta

(a) r=-\dfrac{4}{7}\sqrt{3}\approx-0{,}9897\n(b) \hat{Y}= \dfrac{230}{3} - \dfrac{80}{7}\,X \approx76{,}666\ldots - 11{,}428571\,X\n(c) \hat{Y}(0)=\dfrac{230}{3}\approx76{,}666\ldots

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