Questão 1
Considere o problema de SturmLiouville:
com condições de contorno homogêneas:
(a) Determine os autovalores
.
(b) Encontre as autofunções
associadas aos autovalores encontrados no item (a).
(b) Encontre as autofunções
Passo 1
O enunciado define um problema de Sturm–Liouville
com condições de contorno homogêneas
O objetivo é achar os valores de
(autovalores) que admitem soluções não triviais e, em seguida, as correspondentes autofunções
.
Passo 2
Primeiro verificamos os casos
e
:
– Se com
, a solução geral é combinação de exponenciais e as condições de contorno só permitem
.
– Se , a equação reduz-se a
com solução
. Impor
e
leva novamente à solução trivial
.
Logo, não há autovalores não triviais nestes casos.
– Se
– Se
Logo, não há autovalores não triviais nestes casos.
Passo 3
Para
escrevemos
,
. A equação torna-se
e a solução geral é
A condição
força
, de modo que
Passo 4
Calculamos a derivada
e impomos
. Como buscamos
e
, devemos ter
Isso ocorre quando
Logo os autovalores são
Passo 5
Para cada
acima, a autofunção correspondente (até constante de normalização
) é