Questão 1

Considere o problema de SturmLiouville:
y^{\prime \prime}+\lambda y=0, \quad 0<x<1
com condições de contorno homogêneas:
y(0)=0, \quad y^{\prime}(1)=0 .
(a) Determine os autovalores \lambda_{n}.
(b) Encontre as autofunções y_{n}(x) associadas aos autovalores encontrados no item (a).

Passo 1

O enunciado define um problema de Sturm–Liouville
y''+\lambda y=0,\quad 0<x<1
com condições de contorno homogêneas
y(0)=0,\quad y'(1)=0.
O objetivo é achar os valores de \lambda (autovalores) que admitem soluções não triviais e, em seguida, as correspondentes autofunções y(x).

Passo 2

Primeiro verificamos os casos \lambda<0 e \lambda=0:
– Se \lambda=-\alpha^2 com \alpha>0, a solução geral é combinação de exponenciais e as condições de contorno só permitem y\equiv0.
– Se \lambda=0, a equação reduz-se a y''=0 com solução y(x)=Ax+B. Impor y(0)=0 e y'(1)=A=0 leva novamente à solução trivial y\equiv0.
Logo, não há autovalores não triviais nestes casos.

Passo 3

Para \lambda>0 escrevemos \lambda=\mu^2, \mu>0. A equação torna-se
y''+\mu^2y=0
e a solução geral é
y(x)=A\sin(\mu x)+B\cos(\mu x).
A condição y(0)=0 força B=0, de modo que
y(x)=A\sin(\mu x).

Passo 4

Calculamos a derivada
y'(x)=A\,\mu\cos(\mu x)
e impomos y'(1)=0. Como buscamos A\neq0 e \mu\neq0, devemos ter
\cos(\mu)=0.
Isso ocorre quando
\mu_n = \frac{(2n-1)\pi}{2},\quad n=1,2,3,\dots
Logo os autovalores são
\lambda_n = \mu_n^2 = \Bigl(\tfrac{(2n-1)\pi}{2}\Bigr)^2.

Passo 5

Para cada \mu_n acima, a autofunção correspondente (até constante de normalização A_n) é
y_n(x)=A_n\sin\!\Bigl(\mu_n x\Bigr) = A_n\sin\!\Bigl(\tfrac{(2n-1)\pi}{2}x\Bigr).

Resposta

\displaystyle \lambda_n = \bigl(\tfrac{(2n-1)\pi}{2}\bigr)^2,\quad n=1,2,3,\dots
\displaystyle y_n(x) = \sin\!\bigl(\tfrac{(2n-1)\pi}{2}x\bigr),\quad n=1,2,3,\dots

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