Calcule a integral de linha \int_{C}\left[x y d x+x^{2} d y\right] se:
C consiste do segmento de reta que vai de (2,1) a (4,1) mais o segmento de reta que vai de (4,1) a (4,5);

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{C}\bigl[x\,y\,dx + x^{2}\,dy\bigr]
ao longo de C, que é a união de dois segmentos de reta:
  • C_{1} de (2,1) a (4,1)
  • C_{2} de (4,1) a (4,5)
    Para resolver, vamos parametrizar cada trecho, calcular dx e dy e inserir na forma diferencial P\,dx+Q\,dy, com P(x,y)=x\,y e Q(x,y)=x^{2}.

Passo 2

Parametrização de C_{1}:
x(t)=2+2t,\quad y(t)=1,\quad t\in[0,1].
Então
dx = 2\,dt,\quad dy=0.
A integral em C_{1} é
\int_{C_{1}}x\,y\,dx + x^{2}\,dy =\int_{0}^{1}\bigl[(2+2t)\cdot1\cdot2 + (2+2t)^{2}\cdot0\bigr]dt =\int_{0}^{1}2(2+2t)\,dt.
Calculando,
\int_{0}^{1}2(2+2t)\,dt =2\int_{0}^{1}(2+2t)\,dt =2\Bigl[2t + t^{2}\Bigr]_{0}^{1} =2\,(2+1) =6.

Passo 3

Parametrização de C_{2}:
x(s)=4,\quad y(s)=1+4s,\quad s\in[0,1].
Então
dx=0,\quad dy=4\,ds.
A integral em C_{2} é
\int_{C_{2}}x\,y\,dx + x^{2}\,dy =\int_{0}^{1}\bigl[4\,(1+4s)\cdot 0 + 4^{2}\cdot4\bigr]ds =\int_{0}^{1}16\cdot4\,ds =\int_{0}^{1}64\,ds =64.

Passo 4

Somando as contribuições de C_{1} e C_{2}, obtemos
\int_{C}x\,y\,dx + x^{2}\,dy =6 + 64 =70.

Resposta

70

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