Questão 2
Considere o problema de SturmLiouville com coeficientes variáveis:
com condições de contorno:
(a) Reescreva a equação na forma padrão de Sturm-Liouville.
(b) Discuta a ortogonalidade das autofunções em relação à função p - so
.
(b) Discuta a ortogonalidade das autofunções em relação à função p - so
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
com condições de contorno
Trata--se de um problema de Sturm--Liouville (S--L). Na teoria, a forma padrão de um problema S--L auto–adjunto é
com peso
e coeficiente de rigidez
. A partir daí podemos identificar
,
e
no nosso caso.
Passo 2
Comparando
com
vemos que
Passo 3
Logo, a forma S–L “padrão” do problema fica
ou, dividindo por
, a forma canônica
Passo 4
Como
e
em
, o operador é auto–adjunto e os autovalores
são reais. As autofunções
associadas a valores distintos
satisfazem a condição de ortogonalidade com peso
:
Resposta
(a) Na forma S–L:
ou seja
(b) As autofunções correspondentes a autovalores diferentes são ortogonais segundo o peso
: