Questão 2

Considere o problema de SturmLiouville com coeficientes variáveis:
\frac{d}{d x}\left(x^{2} \frac{d y}{d x}\right)+\lambda y=0, \quad 1<x< com condições de contorno:
y(1)=0, \quad y(2)=0 .
(a) Reescreva a equação na forma padrão de Sturm-Liouville.
(b) Discuta a ortogonalidade das autofunções em relação à função p - so w(x).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
\frac{d}{d x}\!\bigl(x^{2}\,\frac{d y}{d x}\bigr)+\lambda\,y=0, \quad 1<x<2,
com condições de contorno
y(1)=0, \quad y(2)=0.
Trata--se de um problema de Sturm--Liouville (S--L). Na teoria, a forma padrão de um problema S--L auto–adjunto é
\frac{d}{dx}\!\bigl(p(x)\,y'\bigr)+\bigl[\lambda\,w(x)-q(x)\bigr]\,y=0,
com peso w(x) e coeficiente de rigidez p(x). A partir daí podemos identificar p, w e q no nosso caso.

Passo 2

Comparando
\frac{d}{dx}\!\bigl(x^{2}y'\bigr)+\lambda y=0
com
\frac{d}{dx}\!\bigl(p(x)y'\bigr)+\bigl[\lambda w(x)-q(x)\bigr]\,y=0,
vemos que
p(x)=x^{2}, \quad w(x)=1, \quad q(x)=0.

Passo 3

Logo, a forma S–L “padrão” do problema fica
\frac{d}{dx}\!\bigl(x^{2}y'\bigr)+\bigl[\lambda\cdot1-0\bigr]\,y=0,
ou, dividindo por x^{2}, a forma canônica
y''+\frac{2}{x}\,y'+\frac{\lambda}{x^{2}}\,y=0.

Passo 4

Como p(x)=x^{2}>0 e w(x)=1>0 em [1,2], o operador é auto–adjunto e os autovalores \lambda_{n} são reais. As autofunções \{y_{n}(x)\} associadas a valores distintos \lambda_{m}\neq\lambda_{n} satisfazem a condição de ortogonalidade com peso w(x):
\int_{1}^{2}y_{m}(x)\,y_{n}(x)\,w(x)\,dx =\int_{1}^{2}y_{m}(x)\,y_{n}(x)\,dx =0, \quad m\neq n.

Resposta

(a) Na forma S–L:
p(x)=x^{2},\quad w(x)=1,\quad q(x)=0,
ou seja
\frac{d}{dx}\!\bigl(x^{2}y'\bigr)+\lambda y=0 \quad\Longleftrightarrow\quad y''+\frac{2}{x}y'+\frac{\lambda}{x^{2}}y=0.
(b) As autofunções correspondentes a autovalores diferentes são ortogonais segundo o peso w(x)=1:
\int_{1}^{2}y_{m}(x)\,y_{n}(x)\,dx=0,\quad m\neq n.

Exercícios relacionados