Questão 6 - Resolva usando transformada de Laplace.
  1. \left\{\begin{array}{l}y^{\prime}+y=1, \\\ y(0)=1 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por transformada de Laplace, o problema de valor inicial
\begin{cases} y'(t) + y(t) = 1,\\\ y(0)=1. \end{cases}
O conteúdo é solução de equações diferenciais lineares de 1\circ ordem usando a transformada de Laplace. Precisaremos das propriedades
  1. \mathcal{L}\{y'(t)\} = sY(s) - y(0),
  2. \mathcal{L}\{y(t)\} = Y(s),
  3. \mathcal{L}\{1\} = 1/s.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados de y'(t)+y(t)=1, temos
\mathcal{L}\{y'(t)\} + \mathcal{L}\{y(t)\} = \mathcal{L}\{1\} \quad\Longrightarrow\quad \bigl(sY(s)-y(0)\bigr) + Y(s) = \frac{1}{s}.
Substituindo y(0)=1,
sY(s) - 1 + Y(s) = \frac{1}{s} \quad\Longrightarrow\quad (s+1)\,Y(s) = 1 + \frac{1}{s}.

Passo 3

Isolando Y(s), escrevemos
Y(s) = \frac{1 + \tfrac{1}{s}}{s+1} = \frac{\tfrac{s+1}{s}}{s+1} = \frac{1}{s}.

Passo 4

Agora aplicamos a transformada inversa:
y(t) = \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{1}{s}\Bigr\} = 1.

Passo 5

Conferindo, obtemos y(0)=1 e y'(t)=0, logo y'(t)+y(t)=0+1=1, satisfazendo a EDO.

Resposta

y(t) = 1.

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