Questão 2. Considere o PVI
\left\{\begin{array}{l} t \frac{d^{2} y}{d t^{2}}+\left(-1+4 t^{2}\right) \frac{d y}{d t}+40 t^{3} y=0, \quad \text { para } t>0 \\\ y(1)=y_{1}, y^{\prime}(1)=y_{1}^{\prime} \end{array}\right.
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma y(t)=e^{r t^{2}} para r fixo. Encontre a solução geral da equação diferencial. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento da solução do PVI, y(t), quando t \rightarrow+\infty ?
Todos os cálculos devem ser apresentados. Observação: ned = não está definido.
a \lim _{t \rightarrow+\infty} t^{-3} e^{-1+t^{2}} y(t)=\frac{y_{1}^{\prime}}{2}+y_{1}.
  • \lim _{t \rightarrow+\infty} e^{t^{2}} y(t) ned e \lim _{t \rightarrow+\infty} y(t)=0.
    b) \lim _{t \rightarrow+\infty} e^{2 t^{2}} y(t) ned e \lim _{t \rightarrow+\infty} e^{t^{2}} y(t)=0.
    e \lim _{t \rightarrow+\infty} e^{1-t^{2}} y(t)=\frac{y_{1}^{\prime}}{12}+\frac{2 y_{1}}{3}.
    c \lim _{t \rightarrow+\infty} e^{2-2 t^{2}} y(t)=\frac{y_{1}^{\prime}}{12}+\frac{2 y_{1}}{3}.
    f \lim _{t \rightarrow+\infty} t^{-2} e^{-1+t^{2}} y(t)=\frac{y_{1}^{\prime}}{2}+y_{1}.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações nos deu.
  • Enunciado: resolver o problema de valor inicial (PVI)
\left\{\begin{array}{l} t \dfrac{d^{2} y}{d t^{2}}+\left(-1+4 t^{2}\right) \dfrac{d y}{d t}+40 t^{3} y=0,\quad t>0,\\[6pt] y(1)=y_{1},\quad y'(1)=y_{1}^{\prime}. \end{array}\right.
  • Informação adicional dada: sabemos que a equação admite soluções da forma y(t)=e^{r t^{2}} para algum r fixo (ou seja, testar y=e^{r t^{2}} é adequado).
  • O que se pede:
    1. Encontrar a solução geral da equação diferencial.
    2. Determinar qual das alternativas (a, b, c, e, f conforme dadas) é verdadeira sobre o comportamento de y(t) quando t\to+\infty. Em particular, precisamos analisar limites do tipo \lim_{t\to\infty} e^{t^{2}}y(t), \lim_{t\to\infty} y(t), e limites com fatores polinomiais/exponenciais.]

Passo 2

Testar a forma y(t)=e^{r t^{2}}. Vou calcular y' e y'' e substituir na equação.
  • Derivadas de y(t)=e^{r t^{2}}:
y'(t)=2 r t\, e^{r t^{2}}, \qquad y''(t)=(2 r+4 r^{2} t^{2})\, e^{r t^{2}}.
  • Substituindo na equação diferencial (dividindo tudo por e^{r t^{2}}, que nunca é zero):
t(2 r+4 r^{2} t^{2})+(-1+4 t^{2})(2 r t)+40 t^{3}=0.
Agora organizo os termos por potências de t.
  • Coeficientes de t: t(2r) + (-1)(2 r t)=2 r t -2 r t=0 (portanto os termos em t se cancelam).
  • Coeficiente de t^{3}: 4 r^{2} t^{3} + 8 r t^{3} + 40 t^{3} = (4 r^{2}+8 r+40)\, t^{3}.
Para que a identidade seja válida para todo t>0 é necessário que o coeficiente de t^{3} seja zero, logo
4 r^{2}+8 r+40=0.
Dividindo por 4:
r^{2}+2 r+10=0.
Resolver a quadrática:
r=\frac{-2\pm\sqrt{4-40}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{-36}}{2}=-1\pm 3 i.
Então os valores de r são complexos conjugados r=-1\pm 3i.

Passo 3

Construir a solução geral real a partir das soluções complexas.
  • As soluções complexas correspondentes são e^{(-1+3 i)t^{2}} e e^{(-1-3 i)t^{2}}. Usando a fórmula de Euler e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta, escrevemos as soluções reais independentes:
e^{(-1\pm 3 i)t^{2}}=e^{-t^{2}}e^{\pm 3 i t^{2}}=e^{-t^{2}}\big(\cos(3 t^{2})\pm i\sin(3 t^{2})\big).
Assim uma base real de soluções (soluções fundamentais reais) é
u_{1}(t)=e^{-t^{2}}\cos(3 t^{2}),\qquad u_{2}(t)=e^{-t^{2}}\sin(3 t^{2}).
  • Portanto a solução geral real da EDO é
y(t)=C_{1}\,e^{-t^{2}}\cos(3 t^{2})+C_{2}\,e^{-t^{2}}\sin(3 t^{2}),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais que serão determinadas a partir das condições iniciais, se necessário.
Observação didática rápida: aqui se usou um procedimento padrão — testar uma família de soluções do tipo exponencial (aqui e^{r t^{2}} por indicação do enunciado), obter os valores de r, e transformar soluções complexas em combinação real usando cosseno e seno multiplicados por um fator exponencial decrescente e^{-t^{2}}.

Passo 4

Determinar C_{1} e C_{2} em função de y_{1} e y_{1}^{\prime} (vou montar o sistema; dá para resolver explicitamente, mas não é necessário para a conclusão sobre o comportamento assintótico — ainda assim mostro como obter as equações).
  • Avaliando em t=1:
y(1)=e^{-1}\big(C_{1}\cos(3)+C_{2}\sin(3)\big)=y_{1},
ou seja
C_{1}\cos(3)+C_{2}\sin(3)=e^{1}y_{1}. \tag{1}
  • Calcular y'(t) para obter a segunda equação. Uso produto e cadeia com u(t)=C_{1}\cos(3t^{2})+C_{2}\sin(3t^{2}):
y(t)=e^{-t^{2}}u(t), \qquad y'(t)=e^{-t^{2}}\big(u'(t)-2t\,u(t)\big).
Calculo u'(t):
u'(t) = C_{1}(-\sin(3t^{2}))\cdot 6t + C_{2}\cos(3t^{2})\cdot 6t =6t\big(-C_{1}\sin(3t^{2})+C_{2}\cos(3t^{2})\big).
Então
y'(t)=e^{-t^{2}}\,t\Big(-6C_{1}\sin(3t^{2})+6C_{2}\cos(3t^{2})-2C_{1}\cos(3t^{2})-2C_{2}\sin(3t^{2})\Big).
Avaliando em t=1 e igualando a y_{1}^{\prime}:
e^{-1}\Big(C_{1}[-6\sin(3)-2\cos(3)]+C_{2}[6\cos(3)-2\sin(3)]\Big)=y_{1}^{\prime}.
Multiplicando por e^{1} obtemos a segunda equação no sistema:
C_{1}[-6\sin(3)-2\cos(3)]+C_{2}[6\cos(3)-2\sin(3)]=e^{1}y_{1}^{\prime}. \tag{2}
  • As equações (1) e (2) determinam C_{1} e C_{2} de forma única (basta resolver o sistema linear 2\times2). Não há necessidade de escrever as fórmulas fechadas aqui para concluir sobre limites; mostrei como obtê-las para quem precisar calcular C_{1},C_{2}.

Passo 5

Analisar o comportamento assintótico de y(t) quando t\to+\infty.
  • A expressão geral é
y(t)=e^{-t^{2}}\big(C_{1}\cos(3 t^{2})+C_{2}\sin(3 t^{2})\big).
  • Observação sobre os fatores:
    • e^{-t^{2}} é uma função positiva que tende a 0 muito rápido quando t\to+\infty.
    • A combinação C_{1}\cos(3 t^{2})+C_{2}\sin(3 t^{2}) é uma função oscilatória e limitada em módulo por |C_{1}|+|C_{2}| (isto é, permanece acotada para todo t).
  • Consequências imediatas:
    1. Como e^{-t^{2}}\to0 e o fator oscilatório é limitado, segue que
    \lim_{t\to\infty} y(t)=0.
    Portanto qualquer solução do PVI tende a zero quando t\to+\infty.
    1. Considere \displaystyle e^{t^{2}}y(t)=C_{1}\cos(3 t^{2})+C_{2}\sin(3 t^{2}). Essa função é puramente oscilatória (bounded oscillatory). Em geral não tem limite quando t\to\infty — não converge para um número fixo, a menos que ambos C_{1}=C_{2}=0 (caso trivial). Logo, em geral,
    \lim_{t\to\infty} e^{t^{2}}y(t)\\ \text{não existe}.ã
    1. Limites envolvendo multiplicação por potências de t e fatores do tipo e^{-1+t^{2}}: note que
    t^{-k}e^{-1+t^{2}}y(t)=t^{-k}e^{-1}\big(C_{1}\cos(3 t^{2})+C_{2}\sin(3 t^{2})\big).
    Como \big(C_{1}\cos(3 t^{2})+C_{2}\sin(3 t^{2})\big) é limitado e t^{-k}\to0 para qualquer k>0, esses limites valem 0. Portanto afirmações do tipo
    \lim_{t\to\infty} t^{-2}e^{-1+t^{2}}y(t)=\text{constante não nula} \quad\text{ou}\quad \lim_{t\to\infty} t^{-3}e^{-1+t^{2}}y(t)=\text{constante não nula}ãã
    são falsas — tais limites valem 0 (salvo o caso trivial C_{1}=C_{2}=0).

Passo 6

Confronto direto com as alternativas dadas (resumo das conclusões úteis):
  • Verdadeiro: \displaystyle \lim_{t\to\infty} y(t)=0.
  • Verdadeiro (em geral): \displaystyle \lim_{t\to\infty} e^{t^{2}}y(t) não existe (é oscilatória, salvo solução trivial).
  • Falso: limites que afirmam igualdade a constantes não nulas para expressões como t^{-2}e^{-1+t^{2}}y(t) ou t^{-3}e^{-1+t^{2}}y(t) — estes tendem a 0 (não a constantes envolvendo y_{1},y_{1}').
  • Falso: afirmações do tipo \displaystyle \lim_{t\to\infty} e^{t^{2}}y(t)=0 ou \lim_{t\to\infty} e^{2t^{2}}y(t) finito; na verdade e^{t^{2}}y(t) é oscilatório (sem limite) e e^{2t^{2}}y(t) diverge em módulo (porque \,e^{2t^{2}}y(t)=e^{t^{2}}[e^{t^{2}}y(t)], o fator e^{t^{2}} multiplica uma oscilação não nula em geral, portanto não converge).
Com isso podemos identificar qual alternativa (do enunciado) está coerente com as conclusões acima: a parte que diz que \lim_{t\to\infty} e^{t^{2}}y(t) não existe e que \lim_{t\to\infty} y(t)=0 é a correta. As igualdades que dão constantes com combinações de y_{1} e y_{1}' nas opções são falsas, pois os respectivos limites são zero (ou não existem) conforme explicado.

Resposta

a) \displaystyle \lim_{t\to\infty} e^{t^{2}}y(t) não existe e \displaystyle \lim_{t\to\infty} y(t)=0.

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