Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma y(t)=e^{r t^{2}} para r fixo. Encontre a solução geral da equação diferencial. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento da solução do PVI, y(t), quando t \rightarrow+\infty ?
Todos os cálculos devem ser apresentados. Observação: ned = não está definido.
a \lim _{t \rightarrow+\infty} t^{-3} e^{-1+t^{2}} y(t)=\frac{y_{1}^{\prime}}{2}+y_{1}.
\lim _{t \rightarrow+\infty} e^{t^{2}} y(t) ned e \lim _{t \rightarrow+\infty} y(t)=0.
b) \lim _{t \rightarrow+\infty} e^{2 t^{2}} y(t) ned e \lim _{t \rightarrow+\infty} e^{t^{2}} y(t)=0.
e \lim _{t \rightarrow+\infty} e^{1-t^{2}} y(t)=\frac{y_{1}^{\prime}}{12}+\frac{2 y_{1}}{3}.
c \lim _{t \rightarrow+\infty} e^{2-2 t^{2}} y(t)=\frac{y_{1}^{\prime}}{12}+\frac{2 y_{1}}{3}.
f \lim _{t \rightarrow+\infty} t^{-2} e^{-1+t^{2}} y(t)=\frac{y_{1}^{\prime}}{2}+y_{1}.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações nos deu.
Enunciado: resolver o problema de valor inicial (PVI)
Informação adicional dada: sabemos que a equação admite soluções da forma y(t)=e^{r t^{2}} para algum r fixo (ou seja, testar y=e^{r t^{2}} é adequado).
O que se pede:
Encontrar a solução geral da equação diferencial.
Determinar qual das alternativas (a, b, c, e, f conforme dadas) é verdadeira sobre o comportamento de y(t) quando t\to+\infty. Em particular, precisamos analisar limites do tipo \lim_{t\to\infty} e^{t^{2}}y(t), \lim_{t\to\infty} y(t), e limites com fatores polinomiais/exponenciais.]
Passo 2
Testar a forma y(t)=e^{r t^{2}}. Vou calcular y' e y'' e substituir na equação.
Substituindo na equação diferencial (dividindo tudo por e^{r t^{2}}, que nunca é zero):
t(2 r+4 r^{2} t^{2})+(-1+4 t^{2})(2 r t)+40 t^{3}=0.
Agora organizo os termos por potências de t.
Coeficientes de t: t(2r) + (-1)(2 r t)=2 r t -2 r t=0 (portanto os termos em t se cancelam).
Coeficiente de t^{3}: 4 r^{2} t^{3} + 8 r t^{3} + 40 t^{3} = (4 r^{2}+8 r+40)\, t^{3}.
Para que a identidade seja válida para todo t>0 é necessário que o coeficiente de t^{3} seja zero, logo
4 r^{2}+8 r+40=0.
Dividindo por 4:
r^{2}+2 r+10=0.
Resolver a quadrática:
r=\frac{-2\pm\sqrt{4-40}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{-36}}{2}=-1\pm 3 i.
Então os valores de r são complexos conjugados r=-1\pm 3i.
Passo 3
Construir a solução geral real a partir das soluções complexas.
As soluções complexas correspondentes são e^{(-1+3 i)t^{2}} e e^{(-1-3 i)t^{2}}. Usando a fórmula de Euler e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta, escrevemos as soluções reais independentes:
e^{(-1\pm 3 i)t^{2}}=e^{-t^{2}}e^{\pm 3 i t^{2}}=e^{-t^{2}}\big(\cos(3 t^{2})\pm i\sin(3 t^{2})\big).
Assim uma base real de soluções (soluções fundamentais reais) é
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais que serão determinadas a partir das condições iniciais, se necessário.
Observação didática rápida: aqui se usou um procedimento padrão — testar uma família de soluções do tipo exponencial (aqui e^{r t^{2}} por indicação do enunciado), obter os valores de r, e transformar soluções complexas em combinação real usando cosseno e seno multiplicados por um fator exponencial decrescente e^{-t^{2}}.
Passo 4
Determinar C_{1} e C_{2} em função de y_{1} e y_{1}^{\prime} (vou montar o sistema; dá para resolver explicitamente, mas não é necessário para a conclusão sobre o comportamento assintótico — ainda assim mostro como obter as equações).
As equações (1) e (2) determinam C_{1} e C_{2} de forma única (basta resolver o sistema linear 2\times2). Não há necessidade de escrever as fórmulas fechadas aqui para concluir sobre limites; mostrei como obtê-las para quem precisar calcular C_{1},C_{2}.
Passo 5
Analisar o comportamento assintótico de y(t) quando t\to+\infty.
e^{-t^{2}} é uma função positiva que tende a 0 muito rápido quando t\to+\infty.
A combinação C_{1}\cos(3 t^{2})+C_{2}\sin(3 t^{2}) é uma função oscilatória e limitada em módulo por |C_{1}|+|C_{2}| (isto é, permanece acotada para todo t).
Consequências imediatas:
Como e^{-t^{2}}\to0 e o fator oscilatório é limitado, segue que
\lim_{t\to\infty} y(t)=0.
Portanto qualquer solução do PVI tende a zero quando t\to+\infty.
Considere \displaystyle e^{t^{2}}y(t)=C_{1}\cos(3 t^{2})+C_{2}\sin(3 t^{2}). Essa função é puramente oscilatória (bounded oscillatory). Em geral não tem limite quando t\to\infty — não converge para um número fixo, a menos que ambos C_{1}=C_{2}=0 (caso trivial). Logo, em geral,
Como \big(C_{1}\cos(3 t^{2})+C_{2}\sin(3 t^{2})\big) é limitado e t^{-k}\to0 para qualquer k>0, esses limites valem 0. Portanto afirmações do tipo
\lim_{t\to\infty} t^{-2}e^{-1+t^{2}}y(t)=\text{constante não nula} \quad\text{ou}\quad \lim_{t\to\infty} t^{-3}e^{-1+t^{2}}y(t)=\text{constante não nula}ãã
são falsas — tais limites valem 0 (salvo o caso trivial C_{1}=C_{2}=0).
Passo 6
Confronto direto com as alternativas dadas (resumo das conclusões úteis):
Verdadeiro (em geral): \displaystyle \lim_{t\to\infty} e^{t^{2}}y(t) não existe (é oscilatória, salvo solução trivial).
Falso: limites que afirmam igualdade a constantes não nulas para expressões como t^{-2}e^{-1+t^{2}}y(t) ou t^{-3}e^{-1+t^{2}}y(t) — estes tendem a 0 (não a constantes envolvendo y_{1},y_{1}').
Falso: afirmações do tipo \displaystyle \lim_{t\to\infty} e^{t^{2}}y(t)=0 ou \lim_{t\to\infty} e^{2t^{2}}y(t) finito; na verdade e^{t^{2}}y(t) é oscilatório (sem limite) e e^{2t^{2}}y(t) diverge em módulo (porque \,e^{2t^{2}}y(t)=e^{t^{2}}[e^{t^{2}}y(t)], o fator e^{t^{2}} multiplica uma oscilação não nula em geral, portanto não converge).
Com isso podemos identificar qual alternativa (do enunciado) está coerente com as conclusões acima: a parte que diz que \lim_{t\to\infty} e^{t^{2}}y(t) não existe e que \lim_{t\to\infty} y(t)=0 é a correta. As igualdades que dão constantes com combinações de y_{1} e y_{1}' nas opções são falsas, pois os respectivos limites são zero (ou não existem) conforme explicado.
Resposta
a) \displaystyle \lim_{t\to\infty} e^{t^{2}}y(t) não existe e \displaystyle \lim_{t\to\infty} y(t)=0.