Questão 1. Considere o PVI
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}-4 y=3 e^{2 t}+t^{2} \\\ y(0)=2, y^{\prime}(0)=-1 \end{array}\right.
Encontre a solução geral da equação diferencial e a solução do PVI, y(t). Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao valor de y(t), para t=1 ?
Todos os cálculos devem ser apresentados.
a y(1)=\frac{24 e^{2}-24}{64}+\frac{13 e^{2}}{16}+\frac{3 e^{-2}}{2}.
  • y(1)=\frac{36 e^{2}-24}{64}+\frac{13 e^{2}}{16}+\frac{3 e^{-2}}{2}.
    b y(1)=\frac{36 \mathrm{e}^{2}-24}{64}+\frac{13 \mathrm{e}^{2}}{12}+\frac{3 \mathrm{e}^{-2}}{2}.
    e y(1)=\frac{36 e^{2}-24}{64}+\frac{13 e^{2}}{16}+\frac{3 e^{-2}}{4}.
    c y(1)=\frac{36 e^{2}-12}{64}+\frac{13 e^{2}}{16}+\frac{3 e^{-2}}{2}.
    f y(1)=\frac{24 e^{2}-12}{64}+\frac{13 e^{2}}{12}+\frac{3 e^{-2}}{4}.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}-4 y=3 e^{2 t}+t^{2},\\[4pt] y(0)=2,\; y^{\prime}(0)=-1, \end{array}\right.
e pede:
  • encontrar a solução geral da equação diferencial não-homogênea;
  • encontrar a solução do PVI y(t) que satisfaz as condições iniciais;
  • determinar qual das alternativas fornecidas corresponde a y(1).
Informações relevantes dadas:
  • Equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante 3 e^{2t}+t^{2}.
  • Condições iniciais em t=0: y(0)=2 e y'(0)=-1.]

Passo 2

Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
y''-4y=0.
Procuramos soluções da forma y=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}-4=0 \quad\Rightarrow\quad r=\pm 2.
Como as raízes são reais e distintas, a solução complementar (solução da homogênea) é
y_{c}(t)=C_{1} e^{2t}+C_{2} e^{-2t},
onde C_{1},C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_{p} da equação completa. Usaremos o princípio da superposição: encontrar y_{p}=y_{p1}+y_{p2}, onde y_{p1} resolve o termo 3 e^{2t} e y_{p2} resolve o termo t^{2}.
Primeiro y_{p1} para o termo 3 e^{2t}.
  • Observação importante: e^{2t} é solução da homogênea (raiz r=2 simples), então há ressonância. Para o termo Ae^{2t} devemos multiplicar a escolha usual por t.
  • Assim tentamos a forma y_{p1}=C\,t e^{2t}, onde C é constante a determinar.
Calcular derivadas:
y_{p1}=C t e^{2t},
y'_{p1}=C e^{2t}+2C t e^{2t}=C e^{2t}(1+2t),
y''_{p1}=2C e^{2t}+2C e^{2t}+4C t e^{2t}=4C e^{2t}+4C t e^{2t}.
Substituindo em y''-4y:
y''_{p1}-4y_{p1}=(4C e^{2t}+4C t e^{2t})-4(C t e^{2t})=4C e^{2t}.
Queremos que isto seja igual a 3 e^{2t}. Portanto
4C e^{2t}=3 e^{2t}\quad\Rightarrow\quad C=\tfrac{3}{4}.
Logo
y_{p1}=\tfrac{3}{4}\,t e^{2t}.

Passo 4

Agora y_{p2} para o polinômio t^{2}.
  • Para um termo polinomial de grau 2 tentamos um polinômio de grau 2: y_{p2}=a t^{2}+b t+c, com constantes a,b,c.
Calcular derivadas:
y'_{p2}=2a t+b,\qquad y''_{p2}=2a.
Substituindo em y''-4y:
y''_{p2}-4y_{p2}=2a-4(at^{2}+bt+c)=-4a t^{2}-4b t+(2a-4c).
Igualando coeficientes com t^{2} (lado direito é t^{2}):
  • Coeficiente de t^{2}: -4a=1\Rightarrow a=-\tfrac{1}{4}.
  • Coeficiente de t: -4b=0\Rightarrow b=0.
  • Termo constante: 2a-4c=0\Rightarrow 2(-\tfrac{1}{4})-4c=0\Rightarrow -\tfrac{1}{2}-4c=0\Rightarrow c=-\tfrac{1}{8}.
Portanto
y_{p2}=-\tfrac{1}{4}t^{2}-\tfrac{1}{8}.

Passo 5

A solução particular total é
y_{p}(t)=y_{p1}+y_{p2}=\tfrac{3}{4}t e^{2t}-\tfrac{1}{4}t^{2}-\tfrac{1}{8}.
Assim a solução geral da equação não-homogênea é
y(t)=y_{c}(t)+y_{p}(t)=C_{1} e^{2t}+C_{2} e^{-2t}+\tfrac{3}{4}t e^{2t}-\tfrac{1}{4}t^{2}-\tfrac{1}{8}.

Passo 6

Aplicar as condições iniciais para determinar C_{1},C_{2}.
Calcular y(0):
y(0)=C_{1}+C_{2}+0-0-\tfrac{1}{8}=C_{1}+C_{2}-\tfrac{1}{8}.
Como y(0)=2, obtemos
C_{1}+C_{2}=2+\tfrac{1}{8}=\tfrac{17}{8}.
Calcular y'(t). Derivando a expressão geral:
y'(t)=2C_{1} e^{2t}-2C_{2} e^{-2t}+\tfrac{3}{4} e^{2t}+\tfrac{3}{2}t e^{2t}-\tfrac{1}{2}t.
Logo em t=0:
y'(0)=2C_{1}-2C_{2}+\tfrac{3}{4}+0.
Como y'(0)=-1, obtemos
2C_{1}-2C_{2}+\tfrac{3}{4}=-1\quad\Rightarrow\quad 2C_{1}-2C_{2}=-\tfrac{7}{4}.
Dividindo por 2:
C_{1}-C_{2}=-\tfrac{7}{8}.

Passo 7

Resolver o sistema linear
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=\tfrac{17}{8},\\[4pt] C_{1}-C_{2}=-\tfrac{7}{8}. \end{cases}
Somando as duas equações:
2C_{1}=\tfrac{10}{8}=\tfrac{5}{4}\quad\Rightarrow\quad C_{1}=\tfrac{5}{8}.
Então
C_{2}=\tfrac{17}{8}-\tfrac{5}{8}=\tfrac{12}{8}=\tfrac{3}{2}.]

Passo 8

Portanto a solução particular do PVI é
y(t)=\tfrac{5}{8}e^{2t}+\tfrac{3}{2}e^{-2t}+\tfrac{3}{4}t e^{2t}-\tfrac{1}{4}t^{2}-\tfrac{1}{8}.
Podemos agrupar os termos em e^{2t}:
y(t)=\Bigl(\tfrac{5}{8}+\tfrac{3}{4}t\Bigr)e^{2t}+\tfrac{3}{2}e^{-2t}-\tfrac{1}{4}t^{2}-\tfrac{1}{8}.
Agora calcular y(1). Substituindo t=1:
y(1)=\Bigl(\tfrac{5}{8}+\tfrac{3}{4}\Bigr)e^{2}+\tfrac{3}{2}e^{-2}-\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{8}.
Somar as frações: \tfrac{5}{8}+\tfrac{3}{4}=\tfrac{5}{8}+\tfrac{6}{8}=\tfrac{11}{8} e -\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{8}=-\tfrac{3}{8}. Logo
y(1)=\tfrac{11}{8}e^{2}+\tfrac{3}{2}e^{-2}-\tfrac{3}{8}.

Passo 9

Comparando com as alternativas fornecidas, a expressão equivalente (após simplificar) é
y(1)=\tfrac{11}{8}e^{2}+\tfrac{3}{2}e^{-2}-\tfrac{3}{8},
que coincide com a forma
\frac{36 e^{2}-24}{64}+\frac{13 e^{2}}{16}+\frac{3 e^{-2}}{2},
pois \dfrac{36 e^{2}-24}{64}=\dfrac{9}{16}e^{2}-\dfrac{3}{8} e aí somando \dfrac{13}{16}e^{2} obtemos \dfrac{22}{16}e^{2}=\dfrac{11}{8}e^{2}.

Resposta

y(1)=\dfrac{11}{8}e^{2}+\dfrac{3}{2}e^{-2}-\dfrac{3}{8}

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