Questão 1. Considere o PVI
Encontre a solução geral da equação diferencial e a solução do PVI,
. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao valor de
, para
?
Todos os cálculos devem ser apresentados.
a
.
-
.
b
.
e
.
c
.
f
.
Todos os cálculos devem ser apresentados.
a
b
e
c
f
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
e pede:
- encontrar a solução geral da equação diferencial não-homogênea;
- encontrar a solução do PVI
que satisfaz as condições iniciais; - determinar qual das alternativas fornecidas corresponde a
.
Informações relevantes dadas:
- Equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante
. - Condições iniciais em
: e .]
Passo 2
Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
Procuramos soluções da forma
. Substituindo obtemos a equação característica
Como as raízes são reais e distintas, a solução complementar (solução da homogênea) é
onde
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
da equação completa. Usaremos o princípio da superposição: encontrar
, onde
resolve o termo
e
resolve o termo
.
Primeiro
para o termo
.
- Observação importante:
é solução da homogênea (raiz simples), então há ressonância. Para o termo devemos multiplicar a escolha usual por . - Assim tentamos a forma
, onde é constante a determinar.
Calcular derivadas:
Substituindo em
:
Queremos que isto seja igual a
. Portanto
Logo
Passo 4
Agora
para o polinômio
.
- Para um termo polinomial de grau 2 tentamos um polinômio de grau 2:
, com constantes .
Calcular derivadas:
Substituindo em
:
Igualando coeficientes com
(lado direito é
):
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Portanto
Passo 5
A solução particular total é
Assim a solução geral da equação não-homogênea é
Passo 6
Aplicar as condições iniciais para determinar
.
Calcular
:
Como
, obtemos
Calcular
. Derivando a expressão geral:
Logo em
:
Como
, obtemos
Dividindo por
:
Passo 7
Resolver o sistema linear
Somando as duas equações:
Então
Passo 8
Portanto a solução particular do PVI é
Podemos agrupar os termos em
:
Agora calcular
. Substituindo
:
Somar as frações:
e
. Logo
Passo 9
Comparando com as alternativas fornecidas, a expressão equivalente (após simplificar) é
que coincide com a forma
pois
e aí somando
obtemos
.