Questão 3. Considere o PVI
Sabemos que a equação diferencial admite soluçāo da forma
para
fixo. Encontre a solução geral da equação diferencial. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento da solução do PVI,
, quando
?
Todos os cálculos devem ser apresentados. Observação: ned
não está definido.
(a)
.
□
.
b
ned e
.
e
.
c
.
f
ned e
.
Todos os cálculos devem ser apresentados. Observação: ned
(a)
□
b
e
c
f
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Equação dada (PVI), para
:
com condições iniciais
.
- O enunciado afirma que existe solução da forma
para algum fixo. Pede-se: - Encontrar a solução geral da EDO.
- Identificar qual alternativa sobre o comportamento quando
é verdadeira.
Informações relevantes que pegarei do enunciado:
- A equação é de segunda ordem com coeficientes que dependem de
. - Uma solução do tipo exponencial em
existe (vamos descobrir o valor de ). - As constantes iniciais são
e .
Passo 2
Testo a forma
e calculo as derivadas (explicando como faço cada passo).
- Se
então, usando regra da cadeia,
Explico: derivada de
é
, e multiplica por
.
- Derivando de novo,
Expliquei: produto de função polinomial e exponencial, aplicando produto e cadeia.
Substituo
na EDO. Como todos os termos têm fator
, fatoro-o e trabalho com os coeficientes em potências de
:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Somando os coeficientes (fator
comum):
Agrupando:
Fatorando
:
Como
e
para
, a equação exige
Isto só é possível para todo
se
. Logo
Concluo que uma solução é
Passo 3
Agora preciso da segunda solução linearmente independente. Vou usar o método de redução de ordem (explico a ideia): se
é solução conhecida de
, então uma segunda solução pode ser buscada na forma
e existe a fórmula direta
que acelera os cálculos (explico: essa fórmula vem da redução de ordem e da resolução de uma equação de primeira ordem para
).
Primeiro coloco a EDO em forma padrão dividindo por
:
Assim
Calculo
:
Logo
(constante multiplicativa irrelevante para a fórmula).
Agora uso a fórmula:
Excelente: integrando,
Portanto, uma segunda solução é
Podemos multiplicar por 5 sem problema; escolho a forma simples
Verifico (intuitivamente) que
e
são linearmente independentes, pois um tem fator contínuo
no polinômio e outro tem
(Wronskiano não nulo em
).
Passo 4
Escrevo a solução geral e aplico as condições iniciais; explico cada passo algebraico.
Solução geral:
Para usar
Derivo:
Como
, obtenho
Avalio em
:
Resolvo o sistema linear para
. Multiplico a primeira equação por
e somo com a segunda:
Somando (3] vezes a primeira com a segunda:
Logo
E
Logo
E
Substituindo em
:
Logo
é a solução do PVI (esta fórmula dá
e
por construção).]
Passo 5
Estudo o comportamento quando
. Vou calcular explicitamente o limite
porque uma das alternativas fala exatamente desse limite.
Usando a expressão encontrada:
Multiplico por
e divido por
:
Ao fazer
, o termo
. Portanto
Comentário adicional (útil para prova): a solução
tende a
quando
, porque
é, até um polinômio de grau
, multiplicado por
; o decaimento exponencial
domina qualquer potência de
. Em particular
. Porém a combinação mostrada acima avalia a taxa precisa do decaimento multiplicada por
, revelando que
ou seja, geralmente diverge como
(exceto no caso especial
).
Conclusão: a alternativa que afirma
é a verdadeira.