Questão 3. Considere quatro cargas Q_{1}=7,0 \mu \mathrm{C}, Q_{2}=3,0 \mu \mathrm{C}, Q_{3}=-1,0 \mu \mathrm{C} e Q_{4}=2,0 \mu \mathrm{C} localizadas, respectivamente, em (1,0,2),(0,1,-2),(0,-2,-1) e (0,0,0) (coordenadas cartesianas, em metros). Apenas a carga Q_{4} é móvel. Calcule ( \mathbf{1 , 5} pontos) (a) o vetor força elétrica sobre Q_{4} e ( \mathbf{1 , 0} ponto) (b) a energia potencial armazenada por esta carga.

Passo 1

O enunciado dá quatro cargas puntuais \,Q_{1}=7{,}0\,\mu\mathrm{C}, \,Q_{2}=3{,}0\,\mu\mathrm{C}, \,Q_{3}=-1{,}0\,\mu\mathrm{C} e \,Q_{4}=2{,}0\,\mu\mathrm{C} nos pontos (1,0,2), (0,1,-2), (0,-2,-1) e (0,0,0), respectivamente.
Q_{4} é móvel e queremos (a) a força elétrica resultante sobre ela e (b) sua energia potencial.
O conteúdo aqui é a Lei de Coulomb vetorial e o princípio de superposição, além da fórmula da energia potencial de cargas puntuais.

Passo 2

Definimos para cada carga Q_i o vetor que vai de Q_{4} (na origem) até Q_i: \mathbf{r}_{1}=(1,0,2), \mathbf{r}_{2}=(0,1,-2) e \mathbf{r}_{3}=(0,-2,-1).
O módulo de cada um é
r_{1}=r_{2}=r_{3}=\sqrt{1^{2}+0^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}\,.

Passo 3

Pela Lei de Coulomb, a força de Q_i sobre Q_{4} é
\mathbf{F}_{i} = k\,\frac{Q_{4}\,Q_{i}}{r_{i}^{2}}\;\hat{\mathbf{r}}_{i},
onde \hat{\mathbf{r}}_{i}=\mathbf{r}_{i}/r_{i} e k=8{,}99\times10^{9}\,\mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}.
Calculamos cada contribuição (em \mathrm{N}), lembrando que Q_{4}=2{,}0\times10^{-6}\,\mathrm{C}:
Para i=1:
\bigl|\mathbf{F}_{1}\bigr| = k\,\frac{(2{,}0\times10^{-6})(7{,}0\times10^{-6})}{(\sqrt{5})^{2}} =0{,}02517 \quad\Rightarrow\quad \mathbf{F}_{1} =0{,}02517\,\frac{(1,0,2)}{\sqrt{5}} \approx(0{,}01126,\,0,\,0{,}02252).
Para i=2:
\bigl|\mathbf{F}_{2}\bigr| = k\,\frac{(2{,}0\times10^{-6})(3{,}0\times10^{-6})}{5} =0{,}01079 \quad\Rightarrow\quad \mathbf{F}_{2} =0{,}01079\,\frac{(0,1,-2)}{\sqrt{5}} \approx(0,\,0{,}00483,\,-0{,}00965).
Para i=3 Q_{3} é negativa, logo atrai Q_{4}:
\bigl|\mathbf{F}_{3}\bigr| = k\,\frac{(2{,}0\times10^{-6})(-1{,}0\times10^{-6})}{5} =-0{,}003596 \quad\Rightarrow\quad \mathbf{F}_{3} =-0{,}003596\,\frac{(0,-2,-1)}{\sqrt{5}} \approx(0,\,0{,}00322,\,0{,}00161).

Passo 4

Somando vetorialmente as três contribuições:
\mathbf{F} =\mathbf{F}_{1}+\mathbf{F}_{2}+\mathbf{F}_{3} \approx (0{,}01126,\,0{,}00483+0{,}00322,\;0{,}02252-0{,}00965+0{,}00161)
\mathbf{F} \approx(0{,}01126,\;0{,}00805,\;0{,}01448)\;\mathrm{N}.

Passo 5

A energia potencial de Q_{4} no campo das outras três cargas é
U = k\,Q_{4}\sum_{i=1}^{3}\frac{Q_{i}}{r_{i}} = k\,(2{,}0\times10^{-6}) \;\frac{7{,}0+3{,}0-1{,}0}{\sqrt{5}}\times10^{-6}
U = k\,\frac{2{,}0\times10^{-6}\times9{,}0\times10^{-6}}{\sqrt{5}} \approx0{,}0724\;\mathrm{J}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{F}\approx(0{,}0113,\,0{,}00805,\,0{,}01448)\;\mathrm{N},\quad U\approx0{,}0724\;\mathrm{J}.

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