Resolva as seguintes EDOLH’s de coeficientes constantes:
\frac{d^{4} y}{d x^{4}}-3 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-4 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária linear homogênea de coeficientes constantes
\frac{d^{4} y}{d x^{4}}-3 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-4 y=0.
Informações dadas e o que se pede:
  • É uma equação linear homogênea de ordem 4.
  • Todos os coeficientes são constantes.
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(x), contendo as constantes arbitrárias necessárias (quatro constantes porque a ordem é 4).

Passo 2

Método que vamos usar (explicação didática, passo a passo):
  • Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, é padrão procurar soluções da forma y(x)=e^{r x}, onde r é um número (possivelmente complexo).
  • A razão: derivando y=e^{r x} obtém-se \dfrac{d^k y}{d x^k}=r^k e^{r x}. Substituindo na EDO isso reduz o problema a uma equação algébrica em r, chamada equação característica.
  • Se r for raiz da equação característica, então e^{r x} é solução; raízes distintas dão soluções independentes; raízes complexas conjugadas \alpha\pm i\beta geram soluções reais e^{\alpha x}\cos(\beta x) e e^{\alpha x}\sin(\beta x). Se uma raiz tiver multiplicidade m, multiplicam-se as soluções por potências de x (por ex. x e^{r x}, x^2 e^{r x}, etc.).

Passo 3

Formar a equação característica:
  • Substituindo y=e^{r x} na equação dada obtemos o polinômio em r:
r^{4}-3r^{2}-4=0.
  • Observação: esse polinômio envolve apenas potências pares de r, então é natural fazer a substituição auxiliar u=r^{2} para reduzir a ordem.

Passo 4

Fazer a substituição u=r^{2} e resolver a quadrática:
u^{2}-3u-4=0.
Resolver a quadrática usando a fórmula de Bháskara (ou fatorando):
  • O discriminante é \Delta=(-3)^{2}-4\cdot1\cdot(-4)=9+16=25.
  • Assim
u=\frac{3\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{3\pm5}{2}.
Portanto
u_{1}=4,\qquad u_{2}=-1.

Passo 5

Voltar de u para r: resolver r^{2}=u
  • Para u_{1}=4: r^{2}=4
r=2\quad\text{e}\quad r=-2.
  • Para u_{2}=-1: r^{2}=-1
r=i\quad\text{e}\quad r=-i.
Portanto as quatro raízes da equação característica são r=2,\;r=-2,\;r=i,\;r=-i. Todas são simples (multiplicidade 1).

Passo 6

Como transformar essas raízes em soluções reais independentes:
  • Para a raiz real r=2 temos a solução e^{2x}.
  • Para a raiz real r=-2 temos a solução e^{-2x}.
  • Para o par complexo conjugado r=0\pm i (note que \alpha=0, \beta=1) as soluções complexas seriam e^{i x} e e^{-i x}. Pelas fórmulas de Euler as partes reais e imaginárias de e^{i x} dão soluções reais independentes, isto é \cos x e \sin x. Mais explicitamente:
e^{i x}=\cos x + i\sin x,
logo \cos x e \sin x são soluções reais independentes associadas ao par i,-i.

Passo 7

Justificação rápida de que \cos x e \sin x realmente satisfazem a EDO (verificação curta e útil para prova):
  • Se y=\cos x então y''=-\cos x e y''''=\cos x. Substituindo:
y''''-3y''-4y=\cos x -3(-\cos x)-4\cos x=\cos x +3\cos x-4\cos x=0.
  • Se y=\sin x o cálculo é análogo (derivadas trocam \sin e \cos com sinais), resultando também em 0.
  • Para y=e^{2x} verifica-se rapidamente: derivadas geram fatores 2^k, e
16-3\cdot4-4=16-12-4=0,
logo e^{2x} é solução; o mesmo para e^{-2x}.

Passo 8

Montar a solução geral como combinação linear das quatro soluções independentes (há exatamente quatro soluções fundamentais, pois a ordem é 4):
  • Introduzir constantes arbitrárias C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} (reais), a solução geral real é uma combinação linear dessas soluções fundamentais.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-2x}+C_{3}\cos x+C_{4}\sin x.

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