Resolva as seguintes EDOLH’s de coeficientes constantes:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária linear homogênea de coeficientes constantes
Informações dadas e o que se pede:
- É uma equação linear homogênea de ordem
. - Todos os coeficientes são constantes.
- O objetivo é encontrar a solução geral
, contendo as constantes arbitrárias necessárias (quatro constantes porque a ordem é 4).
Passo 2
Método que vamos usar (explicação didática, passo a passo):
- Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, é padrão procurar soluções da forma
, onde é um número (possivelmente complexo). - A razão: derivando
obtém-se . Substituindo na EDO isso reduz o problema a uma equação algébrica em , chamada equação característica. - Se
for raiz da equação característica, então é solução; raízes distintas dão soluções independentes; raízes complexas conjugadas geram soluções reais e . Se uma raiz tiver multiplicidade , multiplicam-se as soluções por potências de (por ex. , etc.).
Passo 3
Formar a equação característica:
- Substituindo
na equação dada obtemos o polinômio em :
- Observação: esse polinômio envolve apenas potências pares de
, então é natural fazer a substituição auxiliar para reduzir a ordem.
Passo 4
Fazer a substituição
e resolver a quadrática:
Resolver a quadrática usando a fórmula de Bháskara (ou fatorando):
- O discriminante é
. - Assim
Portanto
Passo 5
Voltar de
para
: resolver
- Para
: dá
- Para
: dá
Portanto as quatro raízes da equação característica são
. Todas são simples (multiplicidade 1).
Passo 6
Como transformar essas raízes em soluções reais independentes:
- Para a raiz real
temos a solução . - Para a raiz real
temos a solução . - Para o par complexo conjugado
(note que , ) as soluções complexas seriam e . Pelas fórmulas de Euler as partes reais e imaginárias de dão soluções reais independentes, isto é e . Mais explicitamente:
logo
e
são soluções reais independentes associadas ao par
.
Passo 7
Justificação rápida de que
e
realmente satisfazem a EDO (verificação curta e útil para prova):
- Se
então e . Substituindo:
- Se
o cálculo é análogo (derivadas trocam e com sinais), resultando também em . - Para
verifica-se rapidamente: derivadas geram fatores , e
logo
é solução; o mesmo para
.
Passo 8
Montar a solução geral como combinação linear das quatro soluções independentes (há exatamente quatro soluções fundamentais, pois a ordem é 4):
- Introduzir constantes arbitrárias
(reais), a solução geral real é uma combinação linear dessas soluções fundamentais.