Questão 6. Considere a região R=(x, y) in R^2 ; x >= 1 e 0 <= y <= 1 / x e a sua rotação em torno do eixo x.
a) Determine a área da região R.
b) Determine o volume do sólido resultante.
c) Determine a área da superfície do sólido resultante.
d) O que você observa dos itens a), b) e c)?

Passo 1

Resumindo o enunciado: a região
R = (x,y)inR^2 mid x>=1,;0<= y<= 1/x
é unbounded em x. Queremos:
a) área de R,
b) volume do sólido obtido ao girar R em torno do eixo x,
c) área da superfície desse sólido,
d) o que se observa desses resultados. Usaremos integrais impróprias, o método dos discos para volume e a fórmula de área de superfície por revolução.

Passo 2

Para calcular a área de R, integramos em y de 0 a 1/x e depois em x de 1 a infty:
Área(R) = integralx=1^inftyintegraly=0^1/x dy,dx = integral1^infty1x,dx Á
Como
limbtoinftyintegral1^b1x,dx =limbtoinfty[ln x]1^b =infty,
a área de R diverge (é infinita).

Passo 3

Para o volume do sólido de revolução usamos o método dos discos:
V = piintegral1^inftyl(y(x)r)^2dx = piintegral1^infty1x^2,dx = pil[-1xr]1^infty = pi,

Passo 4

A área da superfície gerada ao revolver y=y(x) em torno do eixo x é
S = 2piintegrala^by(x)raiz1+l(y'(x)r)^2,dx
Aqui y(x)=1/x e y'(x)=-1/x^2, então
S = 2piintegral1^infty1xraiz1+1x^4,dx
Como raiz1+1/x^4>1, segue
S>2piintegral1^infty1x,dx =infty,
logo a área da superfície também é infinita.

Passo 5

Observação: a área da região R e a área da superfície gerada são infinitas, mas o volume do sólido é finito (igual a pi). Esse fenômeno é conhecido como trombeta de Gabriel.

Resposta

a) infinita
b) pi
c) infinita
d) A área do plano e a área da superfície divergem, mas o volume é finito (trombeta de Gabriel).

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