Questão 6. Considere a região
e
e a sua rotação em torno do eixo
.
a) Determine a área da região
.
b) Determine o volume do sólido resultante.
c) Determine a área da superfície do sólido resultante.
d) O que você observa dos itens a), b) e c)?
a) Determine a área da região
b) Determine o volume do sólido resultante.
c) Determine a área da superfície do sólido resultante.
d) O que você observa dos itens a), b) e c)?
Passo 1
Resumindo o enunciado: a região
é unbounded em
. Queremos:
a) área de ,
b) volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo
,
c) área da superfície desse sólido,
d) o que se observa desses resultados. Usaremos integrais impróprias, o método dos discos para volume e a fórmula de área de superfície por revolução.
a) área de
b) volume do sólido obtido ao girar
c) área da superfície desse sólido,
d) o que se observa desses resultados. Usaremos integrais impróprias, o método dos discos para volume e a fórmula de área de superfície por revolução.
Passo 2
Para calcular a área de
, integramos em
de
a
e depois em
de
a
:
Como
a área de
diverge (é infinita).
Passo 3
Para o volume do sólido de revolução usamos o método dos discos:
Passo 4
A área da superfície gerada ao revolver
em torno do eixo
é
Aqui
e
, então
Como
, segue
logo a área da superfície também é infinita.
Passo 5
Observação: a área da região
e a área da superfície gerada são infinitas, mas o volume do sólido é finito (igual a
). Esse fenômeno é conhecido como trombeta de Gabriel.
Resposta
a) infinita
b)
c) infinita
d) A área do plano e a área da superfície divergem, mas o volume é finito (trombeta de Gabriel).
b)
c) infinita
d) A área do plano e a área da superfície divergem, mas o volume é finito (trombeta de Gabriel).