Questão 5. Verifique se as seguintes integrais impróprias abaixo convergem ou divergem. Calcule o valor daquelas que são convergentes.
integral0^1 1raizx d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a integral imprópria
integral0^11raizx,dx
Observamos que o problema está em x=0, pois 1raizxtoinfty quando xto0^+. O conteúdo aqui é teste de convergência de integrais impróprias do tipo
integral0^1x^-p,dx

Passo 2

Usamos o teste da p-integral:
integral0^1x^-p,dx
converge se, e só se, p<1. No nosso caso p=tfrac12<1, logo a integral converge. Para calcular o valor, fazemos
integralvarepsilon^1x^-1/2,dx =integralvarepsilon^1x^-12,dx =[x^1212]varepsilon^1 =2l(1-raizvarepsilonr)
Agora tomamos o limite varepsilonto0^+:
limvarepsilonto0^+2l(1-raizvarepsilonr) =2

Resposta

A integral converge e vale 2.

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