Faça o gráfico das retas abaixo.
(x, y, z)=(0,-1,1)+t(-1,0,1).

Passo 1

O enunciado pede para representar geometricamente a reta em R^3 dada pela forma paramétrica
(x,y,z) = (0,-1,1) + t,(-1,0,1)
Este é um problema de geometria analítica no espaço: basta identificar um ponto por onde a reta passa e seu vetor diretor, e então escolher pontos para plotar e traçar a reta.

Passo 2

Extraímos da forma paramétrica as equações em coordenadas:
x = 0 + tcdot(-1) = -t, y = -1 + tcdot 0 = -1, z = 1 + tcdot 1 = 1 + t
Portanto a reta está contida no plano y=-1. Em forma simétrica, como t=-x e t=z-1, temos
y = -1, -x = z-1 Longrightarrow y=-1, x+z=1

Passo 3

Para desenhar, escolhemos alguns valores de t para obter pontos:
  • Para t=0: (x,y,z)=(0,-1,1).
  • Para t=1: (x,y,z)=(-1,-1,2).
  • Para t=-1: (x,y,z)=(1,-1,0).
    Esses três pontos estão todos no mesmo plano y=-1 e apontam a direção da reta.

Passo 4

No esboço 3D:
  1. Desenhe os eixos x, y e z.
  2. Marque o plano horizontal paralelo a xz onde y=-1.
  3. Dentro desse plano, plotar os pontos (0,1)to(x=0,z=1), (-1,2)to(x=-1,z=2) e (1,0)to(x=1,z=0).
  4. Trace a reta que passa por esses pontos. Ela é inclinada no plano y=-1 de modo que, à cada unidade que x decresce, z cresce uma unidade.

Passo 5

O resultado final é uma reta oblíqua, de interseção dos planos
y = -1 e x + z = 1,
tocando, por exemplo, os pontos (0,-1,1), (-1,-1,2) e (1,-1,0).

Resposta

A reta é a interseção dos planos y=-1 e x+z=1, representada pela forma paramétrica
(x,y,z) = (0,-1,1) + t,(-1,0,1),
e no esboço 3D aparece como uma linha em que y é constante igual a -1 e z varia conforme z=1-x.

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