Questão 7: Considere a reta r e o plano pi de respectivas equações
x2=1-y4=z-3 e x+y+2 z=1
Determine a equação paramétrica da reta s que é igual a projeção ortogonal da reta r sobre o plano pi.

Passo 1

O enunciado dá a reta r em forma simétrica e o plano pi por equação cartesiana. Queremos a reta s que é a projeção ortogonal de r sobre pi. O conteúdo aqui envolve converter r para forma paramétrica, identificar a normal n de pi e projetar cada ponto de r ao longo de n até pi.

Passo 2

Escrevemos a reta r em forma paramétrica. Sejam x2=1-y4=z-3=t. Então
x=2t, 1-y=4t, z-3=t
e portanto
y=1-4t, z=3+t
Logo, um ponto genérico de r é
P(t)=(2t,;1-4t,;3+t)

Passo 3

A normal do plano picolon x+y+2z=1 é
n=(1,,1,,2)

Passo 4

Para projetar ortogonalmente P(t) em pi, subtraímos de P(t) um múltiplo escalar alpha de n. Assim o ponto projetado é
P'(t)=P(t)-alpha,n =(2t-alpha,;1-4t-alpha,;3+t-2alpha)
Impor que P'(t) satisfaz x+y+2z=1
(2t-alpha)+(1-4t-alpha)+2(3+t-2alpha)=1

Passo 5

Calculamos essa condição:
2t-alpha+1-4t-alpha+6+2t-4alpha=1 ;Longrightarrow; (2t-4t+2t)+(1+6)-6alpha=1 ;Longrightarrow; 7-6alpha=1 ;Longrightarrow; alpha=1
Note que alpha é constante, ou seja, projetamos cada ponto de r subtraindo n completo.

Passo 6

Substituindo alpha=1 em P'(t) obtemos
P'(t)=(2t-1,;1-4t-1,;3+t-2) =(2t-1,;-4t,;t+1)
Logo a reta projetada s em forma paramétrica é
boxed x=2t-1, y=-4t, z=t+1

Resposta

s: x=2t-1, y=-4t, z=t+1

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