Questão 6: Considere o ponto A=(3,4,-2) e a reta r:llx & =1+t y & =2-t z & =4+2 t onde t in R.
(a) Escreva a equação do plano pi perpendicular a r que passa por A.
(b) Determine a reta que passa por A e é perpendicular a r.

Passo 1

Resumindo: temos o ponto A=(3,4,-2) e a reta
r:;x=1+t, y=2-t, z=4+2t, tinR,
cujo vetor diretor é d=(1,-1,2).
(a) Queremos o plano pi perpendicular a r que passa por A, ou seja, cujo vetor normal é d.
(b) Queremos a reta que sai de A e é perpendicular a r, isto é, a perpendicular abaixada de A sobre r.

Passo 2

Como pi é perpendicular a r, seu vetor normal é
n= d=(1,-1,2)
Usando a forma ponto-normal do plano em A, escrevemos
1,(x-3)-1,(y-4)+2,(z+2)=0
e, ao simplificar, obtemos
x - y + 2z +5 = 0

Passo 3

Para achar a reta perpendicular a r por A, primeiro encontramos o pé H da perpendicular de A em r. Seja P=(1,2,4) um ponto em r, então
AP=(2,2,-6), dcdot d=6, APcdot d=-12
A projeção de AP sobre d é
proj dAP =-126(1,-1,2)=(-2,-2,4)
Logo
H=P+(-2,-2,4)=(-1,0,8)

Passo 4

A reta perpendicular desejada passa por
que podemos simplificar para . Assim, uma forma paramétrica é
com (t\in\mathbb{R}].

Resposta

(a) pi: x - y + 2z + 5 = 0\n(b) ell: x=3-2t,;y=4-2t,;z=-2+5t,;tinR

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