Determine D12 f(0,0) e D21 f(0,0) se existirem. (Pg 963)
f(x, y)=(x y) x^2-y^2x^2+y^2 se (x, y) neq 0 e f(0,0)=0.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= x,y,dfracx^2-y^2x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,& (x,y)=(0,0),
e pede as derivadas mistas
D12f(0,0) e D21f(0,0).
Vamos usar as definições
partial fpartial x(0,y) =limhto0f(h,y)-f(0,y)h, D12f(0,0) =limkto0fx(0,k)-fx(0,0)k,
e analogamente para fy e D21f(0,0).]

Passo 2

Calcular fx(0,y) para yneq0. Para x=0 temos f(0,y)=0, logo
fx(0,y) =limhto0f(h,y)h =limhto0h,y,l(h^2-y^2r)/(h^2+y^2)h =ylimhto0h^2-y^2h^2+y^2 =-y
Em particular fx(0,0)=limhto0f(h,0)/h=0, de modo que
fx(0,y)=-y, fx(0,0)=0

Passo 3

Aplicar a definição de D12f(0,0):
D12f(0,0) =limkto0fx(0,k)-fx(0,0)k =limkto0-k-0k =-1

Passo 4

Calcular fy(x,0) para xneq0. Para y=0 temos f(x,0)=0, então
fy(x,0) =limkto0f(x,k)-f(x,0)k =limkto0x,k,(x^2-k^2)/(x^2+k^2)k =xlimkto0x^2-k^2x^2+k^2 =x
E fy(0,0)=limkto0f(0,k)/k=0. Portanto
fy(x,0)=x, fy(0,0)=0

Passo 5

Aplicar a definição de D21f(0,0):
D21f(0,0) =limhto0fy(h,0)-fy(0,0)h =limhto0h-0h =1

Resposta

D12f(0,0)=-1, D21f(0,0)=1

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