Determine as derivadas parciais indicadas.
Passo 1
O enunciado define
e pede todas as derivadas mistas de terceira ordem
. O conteúdo envolve a regra da cadeia para função composta e a igualdade de derivadas mistas para funções
.
Passo 2
Chamando
aplicamos a regra da cadeia para obter as derivadas de primeira ordem:
Passo 3
Para calcular
, diferenciamos
em relação a
:
Passo 4
Em seguida, diferenciamos
em relação a
para obter uma derivada mista de ordem três:
Passo 5
Como
é
no domínio onde
, todas as derivadas mistas de terceira ordem com índices
em qualquer ordem coincidem. Assim,