Determine as derivadas parciais indicadas.
f(r, s, t)=ln (r^2+4 s^2-5 t^2) ; f123(r, s, t) ; f132(r, s, t) f213(r, s, t) ; f231 ; f321 ; f312

Passo 1

O enunciado define f(r,s,t)=lnl(r^2+4s^2-5t^2r) e pede todas as derivadas mistas de terceira ordem f123,f132,f213,f231,f312,f321. O conteúdo envolve a regra da cadeia para função composta e a igualdade de derivadas mistas para funções C^3.

Passo 2

Chamando
U = r^2 + 4s^2 - 5t^2,
aplicamos a regra da cadeia para obter as derivadas de primeira ordem:
fr = 1Ucdot 2r = 2rU, fs = 1Ucdot 8s = 8sU, ft = 1Ucdot(-10t) = -10tU

Passo 3

Para calcular frs, diferenciamos fr em relação a s:
frs =partialpartial sl(2rUr) =2rcdot(-1)U^-2cdotpartial Upartial s =-2rU^-2cdot 8s =-16,r,sU^2

Passo 4

Em seguida, diferenciamos frs em relação a t para obter uma derivada mista de ordem três:
frst =partialpartial tl(-16,r,sU^2r) =-16,r,scdot(-2)U^-3cdotpartial Upartial t =-16,r,scdot(-2)U^-3cdot(-10t) =-320,r,s,tU^3

Passo 5

Como f é C^infty no domínio onde Uneq0, todas as derivadas mistas de terceira ordem com índices 1,2,3 em qualquer ordem coincidem. Assim,
f123=f132=f213=f231=f312=f321 =-320,r,s,tl(r^2+4s^2-5t^2r)^3

Resposta

f123(r,s,t)=f132(r,s,t)=f213(r,s,t)=f231(r,s,t)=f312(r,s,t)=f321(r,s,t) =-320,r,s,tl(r^2+4s^2-5t^2r)^3

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