Questão 3 Considere as retas
r)l x=-1+t, y=2+3 t, z=4+t s) x=y-42=z-33
  1. [1,5 pts] Mostrar que r e s são reversas, e encontrar o ângulo e a distância entre r e s.
  2. [1,5 pts] Encontrar a equação da reta ell que é perpendicular às duas retas r e s, e que intersecta as duas retas r e s.

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas em
Pede-se: (a) mostrar que são reversas (isto é, não paralelas e sem ponto em comum), e achar o ângulo entre elas e a distância mínima; (b) encontrar a reta que é comum e perpendicular a ambas, intersectando-as.

Passo 2

Escrevemos as retas em forma vetorial. Para r, escolhemos o ponto
A=(-1,2,4)
e o vetor diretor
vec vr=(1,3,1)
Para s, tomamos parâmetro u em
x=u, y=4+2u, z=3+3u,
logo
B=(0,4,3), vec vs=(1,2,3)
São paralelos se vec vr e vec vs fossem colineares, mas não são (não há lambda tal que (1,3,1)=lambda(1,2,3)).
Procuramos interseção tentando
-1+t = u, 2+3t=4+2u, 4+t=3+3u
Dessas, das duas primeiras vem t=0, u=-1, mas na terceira 4neq 0. Logo não se intersectam. Concluímos que r e s são reversas.

Passo 3

O ângulo theta entre as retas vem de
costheta =lvert vec vrcdotvec vsrvert|vec vr|;|vec vs|,
onde
vec vrcdotvec vs =1cdot1+3cdot2+1cdot3=10, |vec vr|=raiz1^2+3^2+1^2=raiz11, |vec vs|=raiz1^2+2^2+3^2=raiz14
Assim
costheta=10raiz11,raiz14=10raiz154,
theta = arccos!l(tfrac10raiz154r)

Passo 4

A distância d entre duas retas reversas é
d =l|,( AB)cdot(vec vrtimesvec vs)r||vec vrtimesvec vs|,
com AB=B-A=(1,2,-1). Calculamos
vec vrtimesvec vs = i&j&k 1&3&1 1&2&3 =(7,-2,-1), |vec vrtimesvec vs|=raiz7^2+(-2)^2+(-1)^2=raiz54=3raiz6,
(AB)cdot(vec vrtimesvec vs) =(1,2,-1)cdot(7,-2,-1)=7-4+1=4
Logo
d=|4|3raiz6=43raiz6=2raiz69

Passo 5

Para achar a reta ell perpendicular a ambas e que as intersecta, buscamos Pin r e Qin s tais que PQperpvec vr e PQperpvec vs.
Escrevemos
P=A+tvec vr=(-1+t,,2+3t,,4+t), Q=B+uvec vs=(u,,4+2u,,3+3u),
PQ=(u+1-t,;2+2u-3t,;-1+3u-t)
As condições PQcdotvec vr=0 e PQcdotvec vs=0 geram o sistema linear em t,u. Resolvendo, obtemos
t=3227, u=1927

Passo 6

Com esses valores achamos
Pl(tfrac527,,tfrac509,,tfrac14027r), Ql(tfrac1927,,tfrac14627,,tfrac13827r)
O vetor diretor de ell é PQ=Q-P=(7,-2,-1) (note que coincide com vec vrtimesvec vs).

Passo 7

A equação paramétrica de ell é, tomando parâmetro s,
ell: x= 527+7s, y= 509-2s, z= 14027-s

Resposta

ângulo
theta=arccos!l(tfrac10raiz154r)
distância
d=tfrac2raiz69
reta comum perpendicular
ell: x=tfrac527+7s, y=tfrac509-2s, z=tfrac14027-s

Exercícios relacionados