Simplifique e indique quando não fizerem sentido, justificando por que não fazem sentido:
varepsiloni j k partialj partialk varphi

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a quantidade
varepsiloni j k,partialjpartialkvarphi,
onde varepsilonijk é o símbolo de Levi-Civita em três dimensões e varphi é um campo escalar. Para resolver, vamos usar duas propriedades fundamentais:
1. As derivadas mistas de um campo escalar de classe C^2 comutam, ou seja, partialjpartialkvarphi = partialkpartialjvarphi.
2. A contração de um tensor simétrico em dois índices com um tensor antissimétrico nesses mesmos índices é zero.

Passo 2

Como varphi é suficientemente suave, vale o teorema de Schwarz (ou de Clairaut) que garante
partialjpartialkvarphi ;=;partialkpartialjvarphi
Logo, o objeto Sjk = partialjpartialkvarphi é simétrico nos índices j e k.

Passo 3

O símbolo varepsilonijk é antissimétrico em j e k. Quando contraímos um tensor simétrico Sjk com um antissimétrico varepsilonijk em j,k, obtemos
varepsiloni j k,Sjk ;=; 0
Isso vale porque, trocando jrightarrow k, Sjk permanece igual enquanto varepsilonijk muda de sinal, de modo que a soma cancela.

Resposta

varepsiloni j k,partialjpartialkvarphi = 0

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