Simplifique e indique quando não fizerem sentido, justificando por que não fazem sentido:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a quantidade
onde
é o símbolo de Levi-Civita em três dimensões e
é um campo escalar. Para resolver, vamos usar duas propriedades fundamentais:
. As derivadas mistas de um campo escalar de classe
comutam, ou seja,
.
. A contração de um tensor simétrico em dois índices com um tensor antissimétrico nesses mesmos índices é zero.
Passo 2
Como
é suficientemente suave, vale o teorema de Schwarz (ou de Clairaut) que garante
Logo, o objeto
é simétrico nos índices
e
.
Passo 3
O símbolo
é antissimétrico em
e
. Quando contraímos um tensor simétrico
com um antissimétrico
em
, obtemos
Isso vale porque, trocando
,
permanece igual enquanto
muda de sinal, de modo que a soma cancela.