Questão 4 Determinar se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique adequadamente.
Seja r a reta no plano com equações paramétricas
r)l x=-2+3 t y=1-2 t
e seja s equação geral (ou cartesiana) s ) a x+y-2=0, sendo a um valor real. Para todo a in(0,1), as retas r e s possuem interseção não vazía.
  1. 0,75 pt Seja r a reta no plano com equações paramétricas
r)l x=-2+3 t y=1-2 t
e seja s equação geral (ou cartesiana) s ) a x+y-2=0, sendo a um valor real. Para todo a in(0,1), as retas r e s possuem interseção não vazía.

Passo 1

O enunciado dá duas retas no plano:
. Queremos saber se, para todo nesse intervalo, e têm ponto em comum.

Passo 2

Para achar a interseção, substituímos x e y de r na equação de s:
a(-2+3t) + l(1-2tr) -2 = 0
Agora expandimos e agrupamos termos em t.

Passo 3

Expandindo,
-2a + 3a t + 1 -2t -2 = 0 ;Longrightarrow; (3a - 2),t +(-2a -1)=0
Logo
(3a - 2),t = 2a+1 Longrightarrow t = 1+2a3a - 2

Passo 4

O valor de t existe e é único sempre que o denominador 3a-2neq0, ou seja, aneq tfrac23.
– Se a=tfrac23, não há solução para t e as retas são paralelas sem interseção.
– Se ain(0,1) e aneq tfrac23, então t é bem definido e há exatamente um ponto de interseção.

Passo 5

Portanto, não é verdade que para todo ain(0,1) elas se cruzam: falta o caso a=tfrac23. A afirmação é falsa.

Resposta

Falsa. As retas não se intersectam quando a=tfrac23.

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