Questão 4 Determinar se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique adequadamente.
Seja
a reta no plano com equações paramétricas
e seja
equação geral (ou cartesiana)
)
, sendo
um valor real. Para todo
, as retas
e
possuem interseção não vazía.
-
Seja
a reta no plano com equações paramétricas
e seja
equação geral (ou cartesiana)
)
, sendo
um valor real. Para todo
, as retas
e
possuem interseção não vazía.
Seja
Passo 1
O enunciado dá duas retas no plano:
–
– . Queremos saber se, para todo
nesse intervalo,
e
têm ponto em comum.
Passo 2
Para achar a interseção, substituímos
e
de
na equação de
:
Agora expandimos e agrupamos termos em
.
Passo 3
Expandindo,
Logo
Passo 4
O valor de
existe e é único sempre que o denominador
, ou seja,
.
– Se , não há solução para
e as retas são paralelas sem interseção.
– Se e
, então
é bem definido e há exatamente um ponto de interseção.
– Se
– Se
Passo 5
Portanto, não é verdade que para todo
elas se cruzam: falta o caso
. A afirmação é falsa.
Resposta
Falsa. As retas não se intersectam quando
.